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ce qui n’a aucune difficulté ; ensuite, qu’on pose comme il suit

${\begin{alignedat}{3}l=&p\sin \omega +{\frac {dp}{d\omega }}\cos \omega ,\quad &m=&q\sin \omega +{\frac {dq}{d\omega }}\cos \omega ,\quad &n=&r\sin \omega +{\frac {dr}{d\omega }}\cos \omega ,\\\lambda =&p\cos \omega -{\frac {dp}{d\omega }}\sin \omega ,&\mu =&q\cos \omega -{\frac {dq}{d\omega }}\sin \omega ,&\nu =&r\cos \omega -{\frac {dr}{d\omega }}\sin \omega ,\end{alignedat}}$

et il est clair que les trois conditions prescrites sont remplies ; il ne reste donc que de rendre intégrables les trois formules différentielles. Pour cet effet, je remarque que

${\begin{aligned}dl\ \ =&\quad d\omega \cos \omega \left(p+{\frac {d^{2}p}{d\omega ^{2}}}\right),\\dm=&\quad d\omega \cos \omega \left(q+{\frac {d^{2}q}{d\omega ^{2}}}\right),\\dn\ =&\quad d\omega \cos \omega \left(r+{\frac {d^{2}r}{d\omega ^{2}}}\right)\,;\\\\d\lambda \ \ =&-d\omega \sin \omega \left(p+{\frac {d^{2}p}{d\omega ^{2}}}\right),\\d\mu =&-d\omega \sin \omega \left(q+{\frac {d^{2}q}{d\omega ^{2}}}\right),\\d\nu \ =&-d\omega \sin \omega \left(r+{\frac {d^{2}r}{d\omega ^{2}}}\right),\end{aligned}}$

de sorte que

${\frac {d\lambda }{dl}}={\frac {d\mu }{dm}}={\frac {d\nu }{dn}}=-\operatorname {tang} \omega .$

Maintenant transformons les formules proposées en cette sorte

${\begin{alignedat}{7}&x=lt&&+\lambda u&&-\int (t\,dl&&+u\,d\lambda &&)=lt&&+\lambda u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dl,\\&y=mt&&+\mu u&&-\int (t\,dm&&+u\,d\mu &&)=mt&&+\mu u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dm,\\&z=nt&&+\nu u&&-\int (tdn&&+u\,d\nu &&)=nt&&+\nu u&&-\int (t-u\operatorname {tang} \omega )dn,\\\end{alignedat}}$

où puisque $l,m$ et $n$ sont des fonctions de la seule variable $\omega ,$ toutes ces trois formules deviendront intégrables en égalant la formule

$t-u\operatorname {tang} \omega$

à une fonction quelconque de $\omega ,$ qui soit $\Omega \,;$ de là, on tire

$t=\Omega +u\operatorname {tang} \omega ,$