où il est clair que le nombre se rencontre lui-même dans cette série ; et pour le nombre en prenant le terme de la progression sera mais il est ici très remarquable que cette belle propriété n’a lieu que si le nombre ou est premier, car, prenant par exemple ou la progression sera
ici, quoique divise plusieurs de ces termes, cependant il ne s’y trouvera aucun qui ait la forme et il en est de même des nombres et d’autres qui sont multipliés par
Je suis fort assuré que la considération de ces circonstances pourra conduire à des découvertes très importantes.
Vous aurez vu, Monsieur, dans mon Algèbre, que le problème de trouver+ nombres dont les produits à en y ajoutant l’unité, deviennent des nombres carrés, m’a fort embarrassé ; et je n’ai pu même assigner, en général, des nombres entiers satisfaisants, quoique je me sois presque souvenu que ce problème a été résolu par Ozanam ; mais l’occasion m’a manqué de faire des recherches là-dessus. Or, depuis, j’ai trouvé cette solution assez générale :
Ayant pris à volonté deux nombres et tels que les quatre nombres cherchés seront
où le nombre peut être pris tant négatif que positif. Peut-être que cette solution se trouve dans l’Algèbre d’Ozanam[1] ; mais je n’aurais jamais cru que l’Analyse fût suffisante d’étendre[2] cette question jusqu’à cinq nombres, et je fus ces jours-ci très agréablement surpris lorsque je rencontrai les cinq nombres suivants
