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et je ne doute pas qu’elles ne méritent le suffrage de tous les géomètres par tout ce qui regarde la manière dont vous réduisez au Calcul intégral la résolution des équations du troisième degré. Quoique cette idée ne soit pas nouvelle, il me semble que personne n’avait encore rempli cet objet par une analyse aussi simple et élégante que la vôtre. Le calcul que vous donnez à la page 18, § XVII, me paraît sujet à quelques difficultés que je vais prendre la liberté de vous exposer. La question consiste à éliminer $\mathrm {S}$ des deux équations

$\mathrm {R^{3}-3RS} ={\frac {q}{2}},\qquad \mathrm {\left(3R^{2}-S\right)} {\sqrt {-\mathrm {S} }}={\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}\,;$

en tirant de la première la valeur de $\mathrm {S}$ et la mettant dans la seconde après l’avoir carrée, je trouve, après la réduction de cette réduite en $\mathrm {R} ,$

$(2\mathrm {R} )^{9}-3q(2\mathrm {R} )^{6}+\left(3q^{2}-p^{3}\right)(2\mathrm {R} )^{3}-q^{3}=0,$

qui se décompose en ces deux-ci

$(2\mathrm {R} )^{3}-p(2\mathrm {R} )-q=0$

et

$(2\mathrm {R} )^{6}+p(2\mathrm {R} )^{4}-2q(2\mathrm {R} )^{3}+p^{2}(2\mathrm {R} )^{2}-pq(2\mathrm {R} )+q^{2}=0.$

La première n’est autre chose que la proposée

$x^{3}-px-q=0,$

en y supposant $x=2\mathrm {R} ,$ ce qui s’accorde avec votre équation (E) ; la seconde est une autre équation étrangère à la question. Ainsi, cette analyse ne mène à rien de nouveau et ne peut pas servir à prouver que l’expression de Cardan est réelle, puisqu’on ne fait que retrouver la même équation du troisième degré dont cette expression est la racine.

La différence entre mon calcul et le vôtre vient de ce que vous avez substitué à l’équation

$3\mathrm {R^{2}{\sqrt {-S}}-S{\sqrt {-S}}} ={\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}-{\frac {p^{3}}{27}}}}$

cette autre

(B)

$3\mathrm {R^{2}S-S^{2}} ={\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}-{\frac {q^{2}}{4}}}},$