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ture de la surface d’un corps rond (n^o 137), où il me semble que la considération géométrique est fausse, savoir : Les deux tangentes menées aux extrémités de cet arc décriront des zones coniques, entre lesquelles la zone conoïdique sera nécessairement renfermée. Je ferai voir, in concreto, le contraire^[1].

Soit $ape$ une parabole dont le paramètre est égal à $p,$ l’abscisse $x$ commence en $g,$ la valeur particulière de l’abscisse $gq=a\,;$ la partie

2 tangentes à une parabole

indéterminée $qr=i$ et le rapport du rayon à la circonférence entière du cercle. On a, comme on sait, la zone conoïdique décrite par l’arc $pn$

${\frac {\pi {\sqrt {p}}}{6}}\left\{\left[p+4(a+i)\right]^{\frac {3}{2}}-(p+4a)^{\frac {3}{2}}\right\},$

et la zone du cône décrit par la tangente $mn$

${\frac {\pi i\left(a+{\frac {3}{4}}i\right){\sqrt {p}}}{a+i}}{\sqrt {p+4(a+i)}}.$

Égalant les deux valeurs, on reçoit pour $i$ l’équation cubique

$i^{3}-\left(7a+{\frac {15}{4}}p\right)i^{2}+\left(3p^{2}-6ap-8a^{2}\right)i+3ap(p+4a)=0,$

d’où l’on tire pour chaque valeur de $a$ au moins toujours une valeur possible pour $i.$

1. Cette observation, parfaitement fondée, s’applique uniquement à la première édition de la Théorie des fonctions. Dans l’édition suivante, qui a paru en 1813, Lagrange a modifié le passage qui se trouve critiqué ici ; mais il a employé une méthode toute différente de celle que propose plus loin le traducteur allemand. Voir Œuvres de Lagrange, T. IX, p. 244.