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Pour $a=0,$ on a

$i={\frac {15+{\sqrt {33}}}{8}}p.$

Si, au lieu de l’égalité de deux zones, on suppose entre elles une inégalité quelconque, telle que la zone conoïdique soit plus petite que la zone conique, on recevra d’une manière semblable, au moins, toujours une valeur possible pour $i\,;$ même toute autre courbe nous conduira au moins à une valeur possible pour $i.$

Le contraire de ce que M. Lagrange a avancé tombe, comme je crois, sans peine, d’abord dans les yeux, si la courbe est un cercle, et que celui (-ci) engendre une sphère. Il me semble donc que la démonstration du n^o 137 doit être comme il suit :

1^o La corde est

${\sqrt {i^{2}+\left[f(x+i)-f(x)\right]^{2}}}\,;$

or, par le n^o 53,

$f(x+i)=f(x)+if'(x+j)\,;$

donc la corde est

$i{\sqrt {1+\left[f'(x+j)\right]^{2}}}=i\varphi (x+j)\,;$

partant :

2^o La zone conique engendrée par cette corde est

$\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j).$

3^o Par le n^o 53, on a aussi

$\Phi (x+i)=\Phi (x)+i\Phi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\Phi ''(x+j)\,;$

donc on a la zone conoïdique

$\Phi (x+i)-\Phi (x)=i\left[\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x'+j)\right],$

laquelle est toujours plus grande que la zone conique dans 2^o.