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4^o D’un autre côté, la zone conique décrite par la tangente $i\varphi (x)$ est

$=\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x),$

et toujours plus grande^[1] que la zone conoïdique dans 3^o ; donc on a toujours, quelle que soit la valeur de $i,$

$i\left[\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x+j)\right]<\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x)$

et, en même temps,

$>\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j).$

5^o L’intervalle de ces deux limites est

$\pi i\left\{\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x)-\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j)\right\}.$

6^o Comme la différence de la zone conoïdique et d’une de ses limites doit être toujours plus petite que cet intervalle, on a nécessairement, pour toutes les valeurs de $i,$

$i\left[\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x+j)\right]-\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j)$

$<\pi i\left\{\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x)-\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x+j)\right]\varphi (x+j)\right\},$

savoir

$i\left[\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x+j)\right]<\pi i\left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x)$

ou bien

$\Phi '(x)+{\frac {i}{2}}\Phi ''(x+j)<\pi \left[f(x)+{\frac {i}{2}}f'(x)\right]\varphi (x).$

1. Il y a ici une erreur du même genre que celle dans laquelle était tombé Lagrange ; à la page précédente, l’auteur de la Lettre vient lui-même de montrer que la zone conique peut être égale à la zone conoïdique.

   Au reste, tout ceci n’a d’intérêt que si l’on adopte le point de vue de Lagrange et de M. Grüson, car, pour comparer à d’autres surfaces la zone conoïdique, il faudrait commencer par la définir.