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Mais les valeurs de $x,\,y,\,x'$ et $y'$ que je viens de rapporter fournissent ce résultat qui est assez remarquable, c’est que, si l’on mène \mathrm{MQ} parallèle à $\mathrm {AL}$ et qui coupe les cinq droites aux points $\mathrm {M,\,N,\,O,\,P,\,Q} ,$ et que, si l’on mène les droites $\mathrm {AK,AJ}$ qui coupent la même droite $\mathrm {MQ}$ et $\mathrm {R}$ et $\mathrm {S} ,$ enfin que $\mathrm {T}$ fût l’intersection de $\mathrm {MQ}$ avec $\mathrm {KL} ,$

${\begin{aligned}&{\text{Le point }}\mathrm {R} {\text{ sera au milieu de }}\mathrm {MN} ,\\&{\text{Le point }}\mathrm {S} \ {\text{ sera au milieu de }}\mathrm {NO} ,\\&{\text{Le point }}\mathrm {T} \,{\text{ sera au milieu de }}\mathrm {PQ} ,\end{aligned}}$

car l’équation de la droite $\mathrm {AR}$ est

$y=x{\frac {\gamma +\delta }{2}},$

celle de $\mathrm {AS}$ est

$y=x{\frac {\delta +\varepsilon }{2}},$

celle de $\mathrm {LT}$ est

$y=x{\frac {\alpha +\rho }{2}}+a$^[1],

et, en éliminant entre celle-ci et chacune des deux autres pour avoir les coordonnées de leurs points d’intersection, on trouve, pour ces coordonnées, les mêmes valeurs que celles des points $\mathrm {K}$ et $\mathrm {J}$ rapportées ci-dessus.

Il suit de là qu’on peut résoudre un autre problème du même genre :

Étant données deux parallèles inégales, les partager toutes deux en deux parties égales, en ne se servant que de la règle.

Soient $\mathrm {AB,\,CD}$ les deux parallèles inégales données ; par chacune

1. Lagrange a écrit sur un espace blanc de la page :
   ${\frac {y}{x}}={\frac {\gamma +\delta }{2}},\qquad {\text{donc}}\qquad x={\frac {2a}{{\cfrac {2y}{x}}-\alpha -\rho }},$
   $2y-(a+\rho )x=2a\,;$

   donc, en faisant varier la position de $\mathrm {AF} ,$ le lieu de $\mathrm {K}$ est une droite.