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plus en plus votre génie et la force de votre tête ; quand même ces théorèmes seraient sujets à des exceptions, il y aurait toujours beaucoup de mérite à s’être frayé une route nouvelle dans des matières déjà si rebattues. Il me reste cependant un scrupule sur l’exactitude de votre méthode ; car il ne suffit pas, ce me semble, de prouve que le nombre des coefficients indéterminés contenus dans $\mathrm {P,Q,R}$ peut toujours être supposé plus grand que le nombre des conditions à remplir il faut encore que ces conditions soient telles qu’elles renferment réellement autant de quantités indéterminées qu’on en a supposées. Soit, comme dans le théorème III, la courbe représentée par l’équation

$\mathrm {A} y^{m}+\mathrm {B} y^{m-1}+\mathrm {C} y^{m-2}+\ldots +\mathrm {S} =0\,;$

je suppose que cette courbe soit carrable algébriquement, en sorte que l’on ait

$\int y\,d\mathrm {X} =\alpha +\beta x+\gamma y+\delta x^{2}+\varepsilon xy+\ldots =v$

($v$ étant une fonction algébrique rationnelle et entière de $x$ et $y$ du degré $\mu$) ; j’aurai de cette manière ${\frac {(\mu +1)(\mu +2)}{2}}$ coefficients indéterminés $\alpha ,\beta ,$ $\gamma ,\ldots \,;$ or, en différentiant, j’ai

$y=\mathrm {P+Q} {\frac {\partial y}{\partial x}},$

où $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ sont des fonctions de $x$ et $y$ du degré $\mu -1\,;$ mais l’équation de la courbe donne

${\frac {\partial y}{\partial x}}=\mathrm {\frac {X}{Y}} ,$

où $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {X}$ sont des fonctions algébriques du degré $m-1\,;$ donc, substituant après avoir multiplié par $\mathrm {X} ,$ on aura

$(y-\mathrm {P)X-QY} =0,$

équation qui, après la substitution de la valeur de $y^{m}$ tirée de l’équation à la courbe, doit devenir nulle identiquement. Or il est visible que le premier membre de cette équation sera du degré

$\mu -1+m-1=\mu +m-2\,;$

donc elle contiendra, après la substitution, toutes les puissances de $x$