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jusqu’à $\mu +m-2,$ et celles de $y$ jusqu’à $m-1$ seulement ; donc le nombre de ses termes sera (en faisant $\mu +m-\mathrm {T} =n$)

${\begin{aligned}n&+n-1+n-2+\ldots +n-(m-1)\\&=mn-{\frac {(m-1)m}{2}}=m\mu +{\frac {m(m-1)}{2}}\,;\end{aligned}}$

ainsi il n’y aura que $m\mu +{\frac {m(m-1)}{2}}$ conditions à remplir, tandis qu’il y a ${\frac {(\mu +1)(\mu +2)}{2}},$ ou plutôt ${\frac {(\mu +1)(\mu +2)}{2}}-1$ indéterminées,à cause que la différentiation en fait d’abord disparaître une ; or, $m$ étant donné, on pourra toujours prendre $\mu ,$ tel que le nombre des indéterminées soit égal ou surpasse celui des conditions ; donc, etc.: par exemple, si $m=2,$ on aura $2\mu +1$ conditions, et ${\frac {\mu (\mu +3)}{2}}$ indéterminées, en sorte que, prenant $\mu =2,$ on aura cinq conditions et cinq indéterminées ; d’où il s’ensuivrait que l’aire de toute courbe du second degré pourrait être supposée

$=\alpha +\beta x+\gamma y+\delta x^{2}+\varepsilon xy+\zeta y^{2}.$

Vous démêlerez aisément le vice de ce raisonnement, et vous jugerez aussi si votre méthode est sujette aux mêmes inconvénients que la précédente.

Le jugement que vous portez sur les méthodes de M. Fontaine me paraît fort juste ; j’ajouterai cependant que les deux suppositions sur lesquelles est fondée sa méthode de résoudre les équations sont précaires et fausses dans plusieurs cas. Je suppose, par exemple, une équation du cinquième degré dont les racines soient de la forme $a+e{\sqrt {-1}},\,a-e{\sqrt {-1}},\,b,\,c,\,d$ ($a,b,c,d,e$ étant des quantités réelles positives et $a>b,\ b>c,\ c>d,\ d>e$). Si on fait $b=a,$ on trouvera cette condition $\mathrm {P} =0,$ et il n’est pas difficile de démontrer a priori, par la nature même des équations, que la fonction $\mathrm {P}$ sera de cette forme

${\begin{aligned}8&(a-b)(a-c)(a-d)(b+c-2d)(c+d-2b)(b+d-2c)\\&\times \left[(a+b-2c)^{2}+e^{2}\right]\left[(a+b-2d)^{2}+e^{2}\right]\left[(a+c-2b)^{2}+e^{2}\right]\\&\times \left[(a+c-2d)^{2}+e^{2}\right]\left[(a+d-2b)^{2}+e^{2}\right]\left[(a+d-2c)^{2}+e^{2}\right]\\&\times \left[(a-b)^{2}+qe^{2}\right]\left[(a-c)^{2}+qe^{2}\right]\left[(a-d)^{2}+qe^{2}\right]\left[(b+c-2a)^{2}+4e^{2}\right]\\&\times \left[(b+d-2a)^{2}+4e^{2}\right]\left[(c+d-2a)^{2}+4e^{2}\right]\,;\end{aligned}}$