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lité de deux des quantités $a,\,b,\,c,\,\ldots ,\,o$ différentes dans les deux systèmes, on peut toujours trouver une fonction des coefficients qui soit nulle dans le cas commun aux deux systèmes, et qui soit toujours plus grande que zéro dans l’un, et plus petite dans l’autre. Cela est vrai, et même on peut trouver cette fonction directement et sans tâtonnement par exemple, pour la formule

$x^{3}+mx^{2}+nx+p,$

les deux systèmes

$(x+a)(x+b)(x+b)\quad {\text{et}}\quad (x+a)(x+a)(x+b)$

ont la même condition ; pour trouver celle qui doit les distinguer je n’ai qu’à considérer que l’équation

$x^{3}+mx^{2}+nx+p=0$

a dans les deux cas des racines égales ; et il est facile de trouver par les méthodes connues que la racine double doit être exprimée par

${\frac {mn-9p}{2m^{2}-6n}}\,;$

par conséquent la racine restante et simple le sera par

$m-2{\frac {mn-9p}{2m^{2}-6n}}\,;$

or, pour le premier système, celle-ci doit être plus grande que celle-là, et, pour le second système, elle doit en être plus petite ; donc on aura

$m-2{\frac {mn-9p}{2m^{2}-6n}}>\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {mn-qp}{2m^{2}-6n}}\,;$

donc, multipliant par $2m^{2}-6n,$ on aura nécessairement

$2m^{3}-9mn+27p>0$

dans le premier et $<0$ dans le second ; puisque $m^{2}$ est nécessairement $>3n,$ à cause que $m=\alpha +2\beta$ et $n=2\alpha \beta +\beta ^{2},$ en nommant $\alpha$ la racine simple et $\beta$ la double. Cela s’accorde avec ce qui se trouve page 512.