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Mais ce qui n’est pas vrai et qui met en défaut toute la théorie, c’est que la fonction, qui est plus grande que zéro dans l’un des systèmes et plus petite que zéro dans l’autre, tant qu’il y a dans ces systèmes égalité entre deux des quantités $a,\,b,\,c,\,\ldots ,\,o$ le soit aussi lorsque cette égalité cesse ; or c’est ce que la théorie de Fontaine suppose nécessairement puisque autrement on n’aurait que les conditions distinctives des systèmes où deux quantités sont égales. Par exemple, de ce que pour le système

$(x+a)(x+b)(x+b)$

on a

$2m^{3}-9mn+27p>0,$

M. Fontaine conclut qu’on aura la même condition pour le système

$(x+a)\left(x+b+c{\sqrt {-1}}\right)\left(x+b-c{\sqrt {-1}}\right),$

lequel peut devenir celui-là par l’égalité de $c$ à zéro. Cela est exact dans ce cas ; mais il y en a où la conclusion devient fausse par exemple, de ce que le système

$(x+a)(x-b)\left(x-c+d{\sqrt {-1}}\right)\left(x-c-d{\sqrt {-1}}\right)$

peut devenir, en faisant $d=0,$

$(x+a)(x-b)(x-c)^{2}$

et que, pour ce dernier système, on a trouvé

$2n^{3}+2^{3}.3^{2}nq-3^{3}p^{2}>0$

(p. 571), on conclut (p. 576) que cette même condition aura lieu en général dans le système proposé ; cependant il est aisé de prouver que, si $b$ ne diffère que très peu de $c$ et d’une quantité plus petite que $d\,;$ on aura

$2n^{3}+2^{3}.3^{2}nq-3^{3}p^{2}<0\,;$

car, faisant $b=c,$ on a

$2n^{3}+2^{3}.3^{2}nq-3^{3}p^{2}=-3^{2}.2^{5}b^{2}d^{4}-2d^{6},$

quantité toujours négative.