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Votre manière de parvenir aux équations différentielles en $x$ et en $y$ est très belle ; voici comment on peut trouver directement celles des excentricités et des aphélies. Je prends la solution du problème des trois corps de Clairaut (Théorie de la Lune, p. 6) et j’observe que, puisque

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-\sin u\left(g-\int \Omega \cos u\,du\right)-\cos u\left(c+\int \Omega \sin u\,du\right),$

si l’on fait

$g-\int \Omega \cos u\,du=e\sin \mathrm {I} ,\qquad c+\int \Omega \sin u\,du=e\cos \mathrm {I} ,$

on a

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\cos(u-1),$

en sorte que $e$ sera l’exentricité, et $\mathrm {I}$ le lieu de l’aphélie, et il est remarquable que les quantités $e$ et $\mathrm {I}$ peuvent être regardées comme constantes pendant que les quantités $r$ et $u$ varient de $dr$ et de $du\,;$ car, comme

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\sin \mathrm {I} \sin u-e\cos \mathrm {I} \cos u,$

il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités $e\sin \mathrm {I} ,\ e\cos \mathrm {I} ,$ c’est-à-dire que

$\sin u\,d(e\sin \mathrm {I} )+\cos u\,d(e\cos \mathrm {I} )=0\,;$

mais

$d(e\sin \mathrm {I} )=-\Omega \cos u\,du,\qquad d(e\cos \mathrm {I} )=\Omega \sin u\,du\,;$

donc, etc. Je fais donc

$x=e\sin \mathrm {I} ,\qquad y=e\cos \mathrm {I} ,$

j’ai

${\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-x\sin u-y\cos u,$

et ensuite j’ai, en différentiant, les équations

$dx=-\Omega \cos u\,du,\qquad dy=\Omega \sin u\,du\,;$

si l’on substitue dans ces équations et dans les autres semblables les valeurs de $r$ et de $u,$ en $x,\,y$ et $t,$ et que l’on ne conserve que les termes où $x,\,y,$ $x',\,y',\,\ldots$ seront linéaires et multipliés par des coefficients