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et l’on fera disparaître le signe $\int \,;$ mais, si $p$ contient deux variables, $x$ et $y,$ $\theta$ étant une fonction donnée des mêmes variables, alors je remarque que l’intégrale $\int p\varphi (\theta )d\theta$ ne peut avoir une valeur déterminée, à moins qu’on ne suppose que cette intégrale doive être prise,en regardant comme constante une fonction donnée de $x$ et de $y\,;$ et, pour lors, il est clair qu’en nommant $\varphi$ cette fonction, on pourra ajouter à l’intégrale $\int p\varphi (\theta )d\theta$ la quantité $\psi (\rho ),$ c’est-à-dire une fonction quelconque de $\rho .$ En général, il me semble que c’est un principe qu’on doit nécessairement admettre dans le Calcul intégral, que toute expression intégrale simple qui contient plus d’une variable sous le signe suppose qu’il y ait autant de fonctions données des mêmes variables qu’il y a de ces variables moins une, lesquelles demeurent constantes pendant l’intégration, et alors il est visible qu’on peut ajouter à l’intégrale une fonction quelconque de ces fonctions données. J’ai voulu étendre la méthode de l’article VII aux équations d’un ordre supérieur au second ; mais, après plusieurs tentatives, je me suis convaincu qu’elle ne s’applique avec succès qu’aux équations de la forme il est vrai aussi que j’ai remarqué que toute intégrale de la forme

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}+\beta z+\gamma {\frac {\partial z}{\partial y}}+\varepsilon {\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\delta {\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}+\ldots =0\,;$

il est vrai aussi que j’ai remarqué que toute intégrale de la forme

$\delta =\mathrm {AX} +\mathrm {B} {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+\mathrm {C} {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}+\ldots ,$

$\mathrm {X}$ étant une fonction indéterminée de $x,$ conduit nécessairement à une équation différentielle de la forme précédente ; d’où il semble qu’on pourrait conclure, en général, que toute équation aux différences partielles linéaires qui est susceptible d’une intégrale finie, de quelque ordre que l’équation soit, est nécessairement réductible à une forme plus simple, dans laquelle la différence d’une des variables ne passera pas le premier degré, et ne se trouvera que dans deux termes. J’ai fait beaucoup d’autres remarques relatives à l’intégration des équations d’un ordre supérieur au second ; elles pourront me fournir la matière