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Je ne me lasse point de lire votre excellent Mémoire sur les intégrales particulières. Je le regarde comme un chef-d’œuvre d’Analysé, par l’importance du sujet, par la beauté de la méthode et par la manière élégante dont vous le présentez. En généralisant le paradoxe qui a donné lieu aux premières recherches des géomètres sur cet objet, j’en ai tiré une méthode assez simple pour avoir les intégrales des équations algébriques toutes les fois qu’elles en sont susceptibles. Cette méthode est fondée sur ce que l’on peut toujours obtenir cette intégrales par des différentiations successives. Pour vous en donner une idée, considérons l’équation

${\frac {dy}{dx}}=p,$

$p$ étant fonction de $x$ et de $y,$ et supposons que son intégrale soit de la forme

$0=a+a^{(1)}x+a^{(2)}y+xy,$

$a,\,a^{(1)},\,a^{(2)}$ étant des coefficients constants indéterminés ; en différentiant cette intégrale et substituant au lieu de ${\frac {dy}{dx}}$ sa valeur $p$ ou autre,

$0=a^{(1)}+a^{(2)}p+y+xp\,;$

différentiant encore, on aura

$0=a^{(2)}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}+p{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)+2p+xp{\frac {\partial p}{\partial y}}+x{\frac {\partial p}{\partial x}},$

ce qui donne

$0=a^{(2)}+x+{\frac {2p}{{\cfrac {\partial p}{\partial x}}+p{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}}\,;$

soit

$p'={\frac {2p}{{\cfrac {\partial p}{\partial x}}+p{\cfrac {\partial p}{\partial y}}}},$

et l’on aura, en différentiant,

$0=x+{\cfrac {\partial p'}{\partial x}}+p{\cfrac {\partial p'}{\partial y}}.$