Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 14.djvu/88

Si cette, équation est identique, l’équation en ${\frac {dy}{dx}}$ aura pour intégrale une équation de la forme

$0=a+a^{(1)}x+a^{(2)}y+xy\,;$

et, si $p'+x$ est fonction de $x$ et de $y,$ l'intégrale sera

$0=a^{(1)}+p'+x,$

$a^{(1)}$ étant l'arbitraire. L’équation

$0=x+{\frac {\partial p'}{\partial x}}+p{\frac {\partial p'}{\partial y}}$

est une équation aux différences partielles du second ordre entre $x,\,y,\,p$ et ses différences partielles ; son intégrale renferme toutes les valeurs de $p,$ telles que l’équation ${\frac {dy}{dx}}=p$ est susceptible d’une intégrale de cette forme

$0=a+a^{(1)}x+a^{(2)}y+xy\,;$

et soit $a^{(1)}=\varphi (a)$ et $a^{(2)}=\psi (a),$ on aura

(2)

$0=a+x\varphi (a)+y\psi (a)+xy\,;$

en différentiant, on aura

${\frac {dy}{dx}}=p=-{\frac {\varphi (a)-y}{\psi (a)+x}}\,;$

en éliminant $a$ de cette valeur de $p,$ au moyen de l’équation (2), on aura l’intégrale complète de l’équation précédente aux différences partielles du second ordre,'puisque cette intégrale dépend des deux fonctions arbitraires $\varphi (a)$ et $\psi (a)\,;$ on aura ensuite toutes les solutions particulières, au moyen des équations

${\frac {\partial x}{\partial a}}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial y}{\partial a}}=0.$

Vous voyez ainsi que toutes les équations différentielles dont l’intégrale est algébrique offrent des paradoxes analogues à celui qui fait l’objet du Mémoire de M. Clairaut^[1], et que l’on peut toujours dé-

1. Voir dans les Mémoires de l’Académie de 1740, p. 293, le Mémoire de Clairaut, sur l’intégrationt ou la construction des équations différentielles du premier ordre.