Ce rayon est celui d’un ellipsoïde de révolution, dont le demi-petit axe est l’unité, et dont le demi-grand axe est
La figure de la Terre supposée fluide ne peut donc être que celle d’un ellipsoïde de révolution, dont toutes les couches de même densité sont elliptiques et de révolution, et dans lequel les ellipticités croissent et les densités diminuent du centre à la surface. Le rapport des ellipticités aux densités est donné par l’équation différentielle du second ordre
Cette équation n’est intégrale par les méthodes connues que dans quelques suppositions particulières sur les densités ; mais, si la loi des ellipticités était donnée, on aurait facilement celle des densités correspondantes. On a vu que l’expression de , donnée par l’intégrale de cette équation, ne renferme, dans la question présente, qu’une arbitraire qui disparaît de la valeur précédente du rayon du sphéroïde ; il n’y a donc qu’une seule figure d’équilibre très-peu différente de la sphère qui soit possible, et il est facile de s’assurer que les limites de l’aplatissement de cette figure sont et dont la première répond au cas où toute la masse du sphéroïde serait réunie au centre, et dont la seconde répond au cas où cette masse serait homogène.
Les directions de la pesanteur, depuis un point quelconque de la surface jusqu’au centre, ne forment point une ligne droite, mais une courbe dont les éléments sont perpendiculaires aux couches de niveau qu’elle traverse : cette courbe est la trajectoire à angles droits de toutes les ellipses qui par leur révolution forment ces couches. Pour déterminer sa nature, prenons pour axe le rayon mené du centre au point de la surface, étant l’angle que ce rayon forme avec l’axe de révolution. On vient de voir que l’expression générale du rayon d’une
