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couche quelconque du sphéroïde est $a+\alpha k.ah\left(1-\mu ^{2}\right),\ k$ étant indépendant de $a$ ; de là il est facile de conclure que, si l’on nomme $\alpha y'$ l’ordonnée abaissée d’un point quelconque de la courbe sur son axe, on aura

$\alpha y'=\alpha ak\sin 2\theta \left(c-\int {\frac {hda}{a}}\right),$

$c$ étant la valeur entière de l’intégrale $\int {\frac {hda}{a}}$ prise depuis le centre jusqu’à la surface.

31. Considérons présentement le cas général dans lequel le sphéroïde, toujours fluide à sa surface, peut renfermer un noyau solide d’une figure quelconque peu différente de la sphère. Le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à sa surface et la loi de la pesanteur à cette surface ont quelques propriétés générales, qu’il est d’autant plus essentiel de considérer, que ces propriétés sont indépendantes de toute hypothèse.

La première de ces propriétés est que, dans l’état d’équilibre, la partie fluide du sphéroïde doit toujours se disposer de manière que la fonction ${\rm {Y}}^{(1)}$ disparaisse de l’expression du rayon mené du centre de gravité du sphéroïde entier à sa surface, en sorte que le centre de gravité de cette surface coïncide avec celui du sphéroïde.

Pour le faire voir, nous observerons que, ${\rm {R}}$ étant supposé représenter le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à l’une quelconque de ses molécules, l’expression de cette molécule sera $\rho {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\mu d\varpi ,$ et l’on aura, par le n^o 12, en vertu des propriétés du centre de gravité,

${\begin{aligned}&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .\mu ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .\end{aligned}}$

Concevons l’intégrale $\int \rho {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}$ prise relativement à ${\rm {R}}$, depuis l’origine de ${\rm {R}}$ jusqu’à la surface du sphéroïde, et ensuite développée dans une série de la forme

${\rm {N}}^{(0)}+{\rm {N}}^{(1)}+{\rm {N}}^{(2)}+{\rm {N}}^{(3)}+\ldots ,$