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${\rm {N}}^{(i)}$ étant, quel que soit $i,$ assujetti à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {N}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {N}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {N}}^{(i)}.$

on aura par le n^o 12, lorsque $i$ est différent de l’unité,

${\begin{aligned}&0=\iint {\rm {N}}^{(i)}\mu d\mu d\varpi ,\\&0=\iint {\rm {N}}^{(i)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {N}}^{(i)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .\end{aligned}}$

Les trois équations précédentes, données par la nature du centre de gravité, deviendront

${\begin{aligned}&0=\iint {\rm {N}}^{(1)}\mu d\mu d\varpi ,\\&0=\iint {\rm {N}}^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {N}}^{(1)}d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi .\end{aligned}}$

${\rm {N^{(1)}}}$ est de la forme ${\rm {H}}\mu +{\rm {H'}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +{\rm {H''}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \,;$ en substituant cette valeur dans ces trois équations, on aura

${\rm {H=0,\qquad H'=0,\qquad H'':=0\,;}}$

partant ${\rm {N^{(1)}=0\,;}}$ c’est la condition nécessaire pour que l’origine de ${\rm {R}}$ soit au centre de gravité du sphéroïde.

Voyons maintenant ce que devient ${\rm {N}}^{(1)}$ relativement aux sphéroïdes peu différents de la sphère et recouverts d’un fluide en équilibre. On a dans ce cas

${\rm {R}}=a(1+\alpha y),$

et l’intégrale $\int \rho {\rm {R}}^{3}d{\rm {R}}$ devient

${\frac {1}{4}}\int \rho d\left[a^{4}(1+4\alpha y)\right],$

la différentielle et l’intégrale étant relatives à la variable $a$, dont $\rho$ est fonction. En substituant pour $y$ sa valeur ${\rm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(2)}+\ldots ,}}$ on aura

${\rm {N}}^{(1)}=\alpha \int \rho d\left(a^{4}{\rm {Y^{(1)}}}\right).$

L’équation (2) du n^o 29 donne, à la surface où $a=1,$ et en observant