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que ${\rm {Z}}^{(1)}$ est nul,

$\int \rho d\left(a^{4}{\rm {Y}}^{(1)}\right)={\rm {Y}}^{(1)}\int \rho d.a^{3},$

la valeur de ${\rm {Y}}^{(1)}$ dans le second membre de cette équation étant relative à la surface ; ainsi, ${\rm {N}}^{(1)}$ étant nul lorsque l’origine de ${\rm {R}}$ est au centre de gravité du sphéroïde, on a pareillement ${\rm {Y}}^{(1)}=0.$

32. L’état permanent de l’équilibre des corps célestes nous fait connaître encore quelques propriétés de leurs rayons. Si les planètes ne tournaient pas exactement, ou du moins à très-peu près, autour d’un de leurs trois axes principaux de rotation, il en résulterait, dans la position de leurs axes de rotation, des changements qui seraient sensibles, surtout pour la Terre ; et comme les observations les plus précises n’en font apercevoir aucun, nous devons en conclure que depuis longtemps toutes les parties des corps célestes, et principalement les parties fluides de leurs surfaces, se sont disposées de manière à rendre stables leur état d’équilibre, et par conséquent leurs axes de rotation. Il est, en effet, très-naturel de penser qu’après un grand nombre d’oscillations elles ont dû se fixer à cet état, en vertu des résistances qu’elles éprouvent. Voyons maintenant les conditions qui en résultent dans l’expression des rayons des corps célestes.

Si l’on nomme $x,y,z$ les coordonnées rectangles d’une molécule $d{\rm {M}}$ du sphéroïde, rapportées aux trois axes principaux, l’axe des $x$ étant l’axe de rotation du sphéroïde, on aura, par les propriétés de ces axes, démontrées dans le premier Livre,

$0=\int xyd{\rm {M}},\qquad 0=\int xzd{\rm {M}},\qquad 0=\int yzd{\rm {M}},$

les intégrales devant s’étendre à la masse entière du sphéroïde. ${\rm {R}}$ étant le rayon mené de l’origine des coordonnées à la molécule $d{\rm {M}},\ \theta$ étant l’angle formé par ${\rm {R}}$ et par l’axe de rotation, et $\varpi$ étant l’angle que le plan formé par cet axe et par ${\rm {R}}$ fait avec le plan formé par cet axe et par celui des deux axes principaux qui est l’axe des $y$, on aura

$x={\rm {R}}\mu ,\qquad y={\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\qquad z={\rm {R}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$

$d{\rm {M}}=\rho {\rm {R}}^{2}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .$