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Les trois équations données par la nature des axes principaux de rotation deviendront ainsi

${\begin{aligned}&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iiint \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}$

Concevons l’intégrale $\int \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}$ prise par rapport à ${\rm {R}}$ depuis ${\rm {R=0}}$ jusqu’à la valeur de ${\rm {R}}$ à la surface du sphéroïde, et développée dans une suite de la forme ${\rm {U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}+\ldots {\rm {U^{(i)}}}}}$ étant, quel que soit $i,$ assujetti à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {U}}^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\frac {\partial ^{2}{\rm {U}}^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\rm {U}}^{(i)}.$

On aura, par le théorème du n^o 12, lorsque $i$ est différent de $2,$ et en observant que les fonctions $\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\ \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et $\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi$ sont comprises dans la forme ${\rm {U}}^{(2)},$

${\begin{aligned}&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(i)}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}$

Les trois équations relatives à la nature des axes de rotation deviendront ainsi

${\begin{aligned}&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi .\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\\&0=\iint {\rm {U}}^{(2)}d\mu d\varpi \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi .\end{aligned}}$

Ces équations ne dépendent donc que de la valeur de ${\rm {U}}^{(2)}$ cette valeur est de la forme

${\rm {H\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+H'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +H''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi }}$

$+{\rm {H'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +H^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \,;}}$

en la substituant dans les trois équations précédentes, on aura

${\rm {{H'}=0,\qquad {\rm {H}}''=0,\qquad {\rm {{H}'''=0.}}}}$