Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/120

C’est à ces trois conditions que se réduisent les conditions nécessaires pour que les trois axes des $x,$ des $y$ et des $z$ soient de véritables axes de rotation, et alors ${\rm {U}}^{(2)}$ sera de la forme

${\rm {H\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+H^{iv}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .}}$

Lorsque le sphéroïde est un solide peu différent de la sphère, recouvert d’un fluide en équilibre, on a ${\rm {R}}=a(1+\alpha y),$ et par conséquent

$\int \rho {\rm {R}}^{4}d{\rm {R}}={\frac {1}{5}}\int \rho d\left[a^{5}(1+5\alpha y)\right].$

Si l’on substitue pour $y$ sa valeur ${\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots ,$ on aura

${\rm {U}}^{(2)}=\alpha \int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right).$

L’équation (2) du n^o 29 donne, à la surface du sphéroïde,

${\frac {4\pi }{5}}\int \rho d\left(a^{5}{\rm {Y}}^{(2)}\right)={\frac {4}{3}}\pi {\rm {Y}}^{(2)}\int \rho d.a^{3}-{\rm {Z}}^{(2)},$

${\rm {Y}}^{(2)}$ et ${\rm {Z}}^{(2)},$ dans le second membre de cette équation, étant relatifs à la surface ; on a donc

${\rm {U}}^{(2)}={\frac {5}{3}}\alpha {\rm {Y}}^{(2)}\int \rho d.a^{3}-{\frac {5\alpha {\rm {Z}}^{(2)}}{4\pi }}.$

La valeur de ${\rm {Z}}^{(2)}$ est de la forme

$-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+g'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +g''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$

$g'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +g^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,$

et celle de ${\rm {Y}}^{(2)}$ est de la forme

$-h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h'\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +h''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi$

$h'''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

En substituant dans l’équation précédente ces valeurs, et

${\rm {H}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+{\rm {H}}^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi$

au lieu de ${\rm {U}}^{(2)}$ on aura

$h'={\frac {g'}{4\pi \int \rho a^{2}da}},\qquad h''={\frac {g''}{4\pi \int \rho a^{2}da}},\qquad h'''={\frac {g'''}{4\pi \int \rho a^{2}da}}.$