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Telles sont les conditions qui résultent de la supposition que le sphéroïde tourne autour d’un de ses axes principaux de rotation. Cette supposition détermine les constantes $h',h'',h'''$ au moyen des valeurs de $g',g'',g'''$ ; mais elle laisse indéterminées les quantités $h$ et $h^{\rm {iv}},$ ainsi que les fonctions ${\rm {Y}}^{(3)},{\rm {Y}}^{(4)},\ldots$

Si les forces étrangères à l’attraction des molécules du sphéroïde se réduisent à la force centrifuge due à son mouvement de rotation, on aura $g'=0,\ g''=0,\ g'''=0\,;$ partant $h'=0,\ h''=0,\ h'''=0,$ et l’expression de ${\rm {Y}}^{(2)}$ sera de la forme

$-h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

33. Considérons l’expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde. Nommons $p$ cette force ; il est aisé de voir, par le n^o 25, que l’on aura sa valeur en différenciant le second membre de l’équation (1) du n^o 29 par rapport à $r,$ et en divisant sa différentielle par $-dr,$ ce qui donne, à la surface,

$p={\frac {4\pi }{3r^{2}}}\int \rho d.a^{3}$

$+{\frac {4\alpha \pi }{r^{2}}}\int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3r}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5r^{2}}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {4a^{6}}{7r^{3}}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)$

$-\alpha r\left(2{\rm {Z}}^{(0)}+2{\rm {Z}}^{(2)}+3r{\rm {Z}}^{(3)}+4r^{2}{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right),$

ces intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1.$ Le rayon $r$ à la surface est égal à $1+\alpha y,$ ou égal à

$1+\alpha \left({\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\,;$

on aura ainsi

${\begin{aligned}p=&{\frac {4\pi }{3}}\int \rho d.a^{3}-{\frac {8\alpha \pi }{3}}\left({\rm {Y}}^{(0)}+{\rm {Y}}^{(1)}+{\rm {Y}}^{(2)}+\ldots \right)\int \rho d.a^{3}\\\\&+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}+{\frac {2a^{4}}{3}}{\rm {Y}}^{(1)}+{\frac {3a^{5}}{5}}{\rm {Y}}^{(2)}+{\frac {4a^{6}}{7}}{\rm {Y}}^{(3)}+\ldots \right)\\\\&-\alpha \left(2{\rm {Z}}^{(0)}+2{\rm {Z}}^{(2)}+3{\rm {Z}}^{(3)}+4{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots \right).\end{aligned}}$

On peut faire disparaître les intégrales de cette expression au moyen de l’équation (2) du n^o 29, qui devient, à la surface,

${\frac {4\pi }{2i+1}}\int \rho d\left(a^{i+3}{\rm {Y}}^{(i)}\right)={\frac {4}{3}}\pi {\rm {Y}}^{(i)}\int \rho d.a^{3}-{\rm {Z}}^{(i)}\,;$