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en supposant donc

$p={\frac {4\pi }{3}}\int \rho d.a^{3}-{\frac {8\alpha \pi }{3}}{\rm {Y}}^{(0)}+4\alpha \pi \int \rho d\left(a^{3}{\rm {Y}}^{(0)}\right)-2\alpha {\rm {Z}}^{(0)},$

on aura

${\begin{aligned}p=&{\rm {P}}+\alpha {\rm {P}}\left[{\rm {Y}}^{(2)}+2{\rm {Y}}^{(3)}+3{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots +(i-1){\rm {Y}}^{(i)}+\ldots \right]\\&-\alpha \left[5{\rm {Z}}^{(2)}+7{\rm {Z}}^{(3)}+9{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots +(2i+1){\rm {Z}}^{(i)}+\ldots \right].\end{aligned}}$

C’est par l’observation des longueurs du pendule à secondes que l’on a reconnu la variation de la pesanteur à la surface de la Terre. On a vu, dans le premier Livre, que ces longueurs sont proportionnelles à la pesanteur ; soient donc $l$ et ${\rm {L}}$ les longueurs du pendule correspondantes aux pesanteurs $p$ et ${\rm {P}}$ ; l’équation précédente donnera

/

${\begin{aligned}l=&{\rm {L}}+\alpha {\rm {L}}\left[{\rm {Y}}^{(2)}+2{\rm {Y}}^{(3)}+3{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots +(i-1){\rm {Y}}^{(i)}+\ldots \right]\\&-{\frac {\alpha {\rm {L}}}{\rm {P}}}\left[5{\rm {Z}}^{(2)}+7{\rm {Z}}^{(3)}+9{\rm {Z}}^{(4)}+\ldots +(2i+1){\rm {Z}}^{(i)}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Relativement à la Terre, ${\rm {Z}}^{(2)}$ se réduit, par le n^o 23, à $-{\frac {g}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)$ ou, ce qui revient au même, à $-{\frac {\alpha \varphi }{2}}{\rm {P}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),\ \alpha \varphi$ étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur ; de plus, ${\rm {Z}}^{(3)},{\rm {Z}}^{(4)},\ldots$ sont nuls ; on a donc

$l={\rm {L}}+\alpha {\rm {L}}\left[{\rm {Y}}^{(2)}+2{\rm {Y}}^{(3)}+3{\rm {Y}}^{(4)}+\ldots +(i-1){\rm {Y}}^{(i)}+\ldots \right]$

$+{\frac {5}{2}}\alpha \varphi {\rm {L}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

Le rayon osculateur du méridien d’un sphéroïde qui a pour rayon $1+\alpha y$ est

$1+\alpha {\frac {\partial .\mu y}{\partial \mu }}+\alpha {\frac {\partial .(1-\mu ^{2}){\frac {\partial y}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}\,;$

en désignant donc par $c$ la grandeur du degré d’un cercle dont le rayon est ce que nous avons pris pour l’unité, l’expression du degré du méridien du sphéroïde sera c\left(

$1+\alpha {\frac {\partial .\mu y}{\partial \mu }}+\alpha {\frac {\partial .(1-\mu ^{2}){\frac {\partial y}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}.$

\right)