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Nommons $r$ le rayon mené du centre de la Terre à sa surface ; $\theta$ l’angle que ce rayon fait avec l’axe de rotation, que nous supposerons être celui des $z,$ et $\varphi$ l’angle que le plan formé par cet axe et par $r$ fait avec le plan des $x$ et des $y$ ; on aura

$x=r\sin \theta \cos \varphi ,\qquad y=r\sin \theta \sin \varphi ,\qquad z=r\cos \theta ,$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&r^{2}\sin ^{2}\theta =xdy-ydx,\\&-r^{2}d\theta =(xdz-zdx)\cos \varphi +(ydz-zdy)\sin \varphi ,\\&ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}d\varphi ^{2}\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}$

En considérant ensuite $u'$ comme fonction de $x$ et de $y,$ et désignant par $\psi$ la latitude, on peut supposer dans cette fonction $r=1$ et $\psi =100^{\circ }-\theta ,$ ce qui donne

$x=\cos \psi \cos \varphi ,\qquad y=\cos \psi \sin \varphi .$

On aura ainsi

${\frac {\partial u'}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u'}{\partial y}}dy={\frac {\partial u'}{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}d\varphi \,;$

mais on a

$x^{2}+y^{2}=\cos \psi ,\qquad {\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \varphi ,$

d’où l’on tire

$d\psi =-{\frac {xdx+ydy}{\sin \psi \cos \psi }},\qquad d\varphi ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}}}\cos ^{2}\varphi .$

En substituant ces valeurs de $d\psi$ et de $d\varphi$ dans l’équation différentielle précédente en $u',$ et comparant séparément les coefficients de $dx$ et de $dy$, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial u'}{\partial x}}&=-{\frac {\cos \varphi }{\sin \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \psi }}-{\frac {\sin \varphi }{\cos \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }},\\{\frac {\partial u'}{\partial y}}&=-{\frac {\sin \varphi }{\sin \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \psi }}+{\frac {\cos \varphi }{\cos \psi }}{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }},\end{aligned}}$