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ce qui donne

${\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}y-{\frac {\partial u'}{\partial y}}d^{2}x=$

$-{\frac {\frac {\partial u'}{\partial \psi }}{\sin \psi \cos \psi }}\left(xd^{2}y-yd^{2}x\right)-{\frac {\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}{\cos ^{2}\psi }}\left(xd^{2}x+yd^{2}y\right)\,;$

or, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$ on a $xd^{2}y-yd^{2}x=0$ ; de plus, les deux équations

$xd^{2}z-zd^{2}x=0,\qquad yd^{2}z-zd^{2}y=0$

donnent

$zd^{2}z={\frac {z^{2}\left(xd^{2}x+yd^{2}y\right)}{x^{2}+y^{2}}},$

et l’équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ donne

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+ds^{2}=0\,;$

en substituant au lieu de $zd^{2}z$ sa valeur précédente, on aura

$xd^{2}x+yd^{2}y=-\left(x^{2}+y^{2}\right)ds^{2}=-ds^{2}\cos ^{2}\psi \,;$

partant,

${\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}y-{\frac {\partial u'}{\partial y}}d^{2}x=-{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }}ds^{2}.$

La première des équations (O) donnera ainsi, en l’intégrant,

(p)

$r^{2}d\varphi \sin ^{2}\theta =cds+\alpha ds\int ds{\frac {\partial u'}{\partial \varphi }},$

$c$ étant une constante arbitraire.

La seconde des équations (O) donne

$d(xdz-zdx)=\alpha {\frac {\partial u'}{\partial x}}d^{2}z\,;$

mais il est facile de voir, par ce qui précède, que l’on a

$d^{2}z=-ds^{2}\sin \psi \,;$

on a donc

$d(xdz-zdx)=-\alpha ds^{2}{\frac {\partial u'}{\partial x}}\sin \psi \,;$

on a pareillement

$d(ydz-zdy)=\alpha ds^{2}{\frac {\partial u'}{\partial y}}\sin \psi \,;$