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d’où il suit que la partie de $\alpha u$ relative aux oscillations de la seconde espèce est

$-{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{r^{3}}}\sin v\cos v\cos(nt+\varpi -\psi )}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}},$

et que la partie de $\alpha v$ relative aux mêmes oscillations est

${\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{r^{3}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\sin v\cos v\sin(nt+\varpi -\psi )}{2lgq\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)-n^{2}}}.$

Des oscillations de la troisième espèce.

9. La partie de l’action de l’astre ${\rm {L}}$ qui produit ces oscillations est, par le n^o 4, égale à

${\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}}}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}v\cos(nt+\varpi -\psi ).$

Le développement de cette fonction en cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps donne une suite de termes de la forme $\alpha k\sin ^{2}\theta \cos(it+2\varpi -{\rm {A}});\ i$ étant peu différent de $2n.$

Reprenons maintenant l’équation (4) du n^o 3, en y supposant $s=2$ et

$z={\frac {l\left(1-q\mu ^{2}\right)}{i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}}}.$

Supposons, de plus, que $a$ soit exprimé par la suite

$\left(1-\mu ^{2}\right)\left({\rm {P^{(0)}+P^{(2)}+P^{(4)}+\ldots +{\rm {P}}^{(2f-2)}}}\right),$

${\rm {P^{(0)},P^{(2)},\ldots }}$ étant des fonctions rationnelles et entières de ($\mu ^{2},$ telles qu’en désignant par ${\rm {Y}}^{(2f)}$ la fonction $\left(1-\mu ^{2}\right){\rm {P}}^{(2f-2)},$ on ait

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Y}}^{(2f)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}-{\frac {4{\rm {Y}}^{(2f)}}{\left(1-\mu ^{2}\right)}}+2f(2f+1){\rm {Y}}^{(2f)}.$