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La partie de $a'$ relative à l’action de la couche aqueuse dont, le rayon intérieur étant l’unité, le rayon extérieur est $1+\alpha y$ sera, par ce qui précède,

$-{\frac {3\left(1-\mu ^{2}\right)}{\rho }}\left({\frac {1}{5}}{\rm {P}}^{(0)}+{\frac {1}{9}}{\rm {P}}^{(2)}+{\frac {1}{13}}{\rm {P}}^{(4)}+\ldots +{\frac {1}{(4f+1)}}{\rm {P}}^{(2f-2)}\right)\,;$

la partie de $a'$ relative à l’action de l’astre ${\rm {L}}$ est $-{\frac {k}{g}}\left(1-\mu ^{2}\right)\,;$ on aura donc

$a'=\left(1-\mu ^{2}\right)\times$

$\left[\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right){\rm {P}}^{(0)}+\left(1-{\frac {3}{9\rho }}\right){\rm {P}}^{(2)}+\ldots +\left(1-{\frac {3}{(4f+1)\rho }}\right){\rm {P}}^{(2f-2)}-{\frac {k}{g}}\right].$

Supposons que les constantes indéterminées qui multiplient chacune des fonctions ${\rm {P^{(0)},P^{(2)},\ldots }}$ soient telles que la fonction ${\frac {4n}{i}}\mu a'-{\frac {\partial a'}{\partial \mu }}\left(1-\mu ^{2}\right)$ soit divisible par $i^{2}-4n^{2}\mu ^{2},$ ce qui ne demande qu’une seule équation de condition entre ces indéterminées ; alors le second membre de l’équation (4) n’aura plus de dénominateur ; de plus, il sera divisible par $\left(1-\mu ^{2}\right),$ comme le premier ; car, en supposant $a'=\left(1-\mu ^{2}\right)\operatorname {F} ,$ et ne considérant que les termes qui ne sont point divisibles par $1-\mu ^{2},$ les trois parties de ce second membre deviennent

$-{\frac {2n+i}{i}}\mu ^{2}.4gz\operatorname {F} +{\frac {2n+i}{i}}\mu ^{2}.{\frac {8n}{i}}gz\operatorname {F} +{\frac {i^{2}-4n^{2}\mu ^{2}}{i^{2}}}.4gz\operatorname {F} ,$

ou $4\left(1-\mu ^{2}\right)gz\operatorname {F} \,;$ et par conséquent leur somme est divisible par $1-\mu ^{2}.$ En substituant pour $a$ et $a'$ leurs valeurs précédentes dans l’équation (4), et en la divisant par $1-\mu ^{2}$, la comparaison des coefficients des puissances de $\mu$ donnera $f$ équations, qui, réunies à la précédente, formeront $f+1$ équations de condition à satisfaire ; le nombre des indéterminées, en y comprenant $q,$ est pareillement $f+1$ ; on aura donc autant d’indéterminées que d’équations.

Pour avoir la valeur de $q,$ nommons ${\rm {Q}}\mu ^{2f-2}$ le terme le plus élevé en $\mu$ de ${\rm {P}}^{(2f-2)}\,;$ le terme correspondant de $a'$ sera

$\left(1-\mu ^{2}\right)\mu ^{2f-2}{\rm {Q}}\left(1-{\frac {3}{(4f+1)\rho }}\right)\,;$