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constante ; nous allons déterminer, dans cette hypothèse, les oscillations de la troisième espèce. Nous supposerons, de plus, que $r,\psi$, et $v$ varient avec assez de lenteur, par rapport aux variations de l’angle $2nt,$ pour que l’on puisse les traiter comme constants. Nous négligerons encore la fraction ${\frac {1}{\rho }}$ qui exprime le rapport de la densité de la mer

à la moyenne densité de la Terre, rapport qui paraît assez petit, par les observations faites sur l’attraction des montagnes. Cela posé, en faisant

$y=a\cos(2nt+2\varpi -2\psi ),$

on aura

$\alpha a'=\alpha a-{\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}g}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}v\,;$

l’équation (4) du n^o 3 deviendra donc, en observant que $z={\frac {l}{4n^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)}},$

${\frac {4n^{2}}{lg}}\alpha a\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}=-\alpha {\frac {\partial ^{2}a}{\partial \mu ^{2}}}\left(1-\mu ^{2}\right)^{2}+\left(6+2\mu ^{2}\right)\alpha a-{\frac {6{\rm {L}}}{r^{3}g}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}v.$

On peut donner à cette équation une forme plus simple, en y faisant $1-\mu ^{2}=x^{2},$ et en supposant $dx$ constant ; on aura ainsi

$0=x^{2}\left(1-x^{2}\right)\alpha {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}-x\alpha {\frac {\partial a}{\partial x}}-2\alpha a\left(4-x^{2}-{\frac {2n^{2}}{lg}}x^{4}\right)+{\frac {6{\rm {L}}}{r^{3}g}}x^{2}\cos ^{2}v.$

Pour satisfaire à cette équation, nous ferons

$\alpha a={\rm {A}}^{(1)}x^{2}+{\rm {A}}^{(2)}x^{4}+{\rm {A}}^{(3)}x^{6}+\ldots .$

Cette valeur, substituée dans l’équation différentielle précédente, donnera d’abord, en comparant les coefficients de $x^{2},$

${\rm {A}}^{(1)}={\frac {3{\rm {L}}}{4r^{3}g}}\cos ^{2}v.$

La comparaison des coefficients de $x^{4}$ donnera l’équation identique $0=0$ ; enfin la comparaison des coefficients de $x^{2f+4},\ f$ étant égal ou