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du Soleil, que nous verrons ci-après être trois fois moindre que celle de la Lune.

Il nous reste à considérer le terme

$-{\frac {{2{\rm {P}}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}(\psi '-\psi )^{2}$

de l’expression de $y'.$ Si l’on nomme $\varepsilon$ et $\Gamma$ pour le Soleil ce que nous avons nommé $\varepsilon '$ et $\Gamma '$ pour la Lune, on aura à fort peu près, en observant que $\varepsilon '$ diffère très-peu de $\varepsilon ,$ et que $\sin(\Gamma '+\Gamma )$ est à peu près nul dans les syzygies des équinoxes et des solstices,

$\cos v\cos v'.(\psi '-\psi )=\cos {\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}.(\Gamma '-\Gamma ),$

ce qui change le terme précédent dans celui-ci

$-{\frac {{2{\rm {P}}}{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}{\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}.t^{2}\nu ^{2}}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}v+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}v'}}.$

Cela posé, si l’on nomme ${\rm {Y'}}$ la somme des valeurs de $y'$ correspondantes à $2i$ syzygies des équinoxes, on aura

${\begin{aligned}&{\rm {Y}}'=-{\frac {2i(1+3\cos 2\theta )}{8g\left(1-{\frac {3}{5\rho }}\right)}}\\&\times \left[{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}{\rm {V}}\right)+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(1-3\sin ^{2}{\rm {V}}'\right)\right]+2i{\rm {P}}\left({\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}{\rm {V}}+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}{\rm {V}}'\right)\\\\&-2i{\rm {P}}{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\left(t^{2}+{\frac {1}{16}}\right)\nu ^{2}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left[1{,}165\left(\sin ^{2}\varepsilon '-2\sin ^{2}{\rm {V}}'\right)+{\frac {{\frac {2{\rm {L}}}{r^{3}}}\cos ^{2}{\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}}{{\frac {\rm {L}}{r^{3}}}\cos ^{2}{\rm {V}}+{\frac {\rm {L'}}{r'^{3}}}\cos ^{2}{\rm {V}}'}}\right].\end{aligned}}$

Dans cette expression, ${\rm {\cos ^{2}V,\sin ^{2}V,\cos ^{2}V',\sin ^{2}V'}}$ et $\cos ^{2}{\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}$ sont les valeurs moyennes entre toutes les valeurs correspondantes de $\cos ^{2}v,$$\sin ^{2}v,\cos ^{2}v',\sin ^{2}v'$ et $\cos ^{2}{\frac {\varepsilon +\varepsilon '}{2}}$ relatives aux $2i$ syzygies. La même expression peut représenter encore la somme des valeurs de $y'$ dans $2i$ syzygies des solstices, dont la moitié se rapporte aux solstices d’hiver.