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ditions de l’équilibre de la mer donnent ${\rm {Y^{(1)}=0,}}$ ce qui réduit l’expression du rayon terrestre à cette forme

$1+\alpha \left({\rm {^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots }}\right).$

L’état permanent de l’équilibre de la mer exige que l’axe de rotation de la Terre soit un de ses axes principaux, et pour cela il faut, par le n^o 32 du Livre III, que ${\rm {Y^{(2)}}}$ soit de cette forme

$-h\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+h^{\rm {iv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi ,$

$h$ et $h^{\rm {iv}}$ étant deux constantes arbitraires que l’observation seule peut déterminer, et qui dépendent de la constitution du globe terrestre.

Ces résultats sont les seuls que fournit l’état permanent de l’équilibre de la Terre ; ils sont communs à tous les corps célestes que recouvre un fluide en équilibre. Les observations sur la longueur du pendule à secondes ont donné de nouvelles lumières sur la nature du rayon terrestre : elles nous ont appris que la constante à $\alpha h$ est à fort peu près égale à $0{,}002978,$ par le n^o 42 du Livre III ; que la constante $h^{\rm {iv}}$ est insensible relativement à $h$ que la quantité ${\rm {Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots }}$ est pareillement très-petite relativement à ${\rm {Y^{(2)}\,;}}$ qu’il en est de même de la première différence de cette quantité par rapport à celle de ${\rm {Y^{(2)},}}$ et qu’ainsi l’on peut, dans le calcul du rayon terrestre et de sa première différence, lui supposer, sans erreur sensible, cette forme

$1-0{,}002978.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

Les mesures des degrés des méridiens font voir que cette supposition ne doit pas s’étendre jusqu’aux secondes différences du rayon terrestre, et que la fonction ${\rm {Y^{(3)}+Y^{(4)}+\ldots }}$ acquiert, par une seconde différentiation, une valeur sensible.

Le phénomène de la précession des équinoxes et de la nutation de l’axe terrestre ne dépend, comme on l’a vu, que de ${\rm {Y^{(2)}\,;}}$ il ne détermine pas la valeur de $\alpha h,$ mais il donne les limites entre lesquelles cette valeur est comprise : ces limites sont ${\frac {1}{304}}$ et ${\frac {1}{578}}\,;$ la valeur précédente, qui résulte des observations sur la pesanteur, tombe dans ces limites ;