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Si l’on néglige le carré de $\theta ,$ on a, par le n^o 4,

$p={\frac {d\varphi -d\psi }{dt}}\,;$

partant,

${\frac {p}{t}}={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {dm}{dt}}\,;$

la première des équations (G’) prendra donc cette forme

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {dm}{dt}}=-{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}{\rm {\frac {B-A}{C}}}\sin 2u+{\frac {3{\rm {L}}}{r_{\text{ı}}^{3}}}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\rm {H}}\cos 2u\sin \Pi +\ldots$

Les observations nous ayant fait connaître que le moyen mouvement de rotation de la Lune est égal à son moyen mouvement de révolution autour de la Terre, l’angle $u$ est toujours fort petit, en sorte que l’on peut supposer $\sin 2u=2u,$ et $\cos 2u=1$ ; on a d’ailleurs, à fort peu près, ${\frac {\rm {L}}{r_{\text{ı}}^{3}}}=m^{2}\,;$ on aura donc

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}u=-{\frac {dm}{dt}}+3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\rm {H}}\sin \Pi +\ldots$

La valeur de ${\frac {dm}{dt}}$ dépend de l’équation séculaire de la Lune, et nous verrons dans la théorie de la Lune que, si $m't$ est le moyen mouvement sidéral du Soleil, et $e'$ l’excentricité de son orbite, on a

$-{\frac {dm}{dt}}={\frac {3m^{'2}e'de'}{mdt}}\,;$

on aura donc à très-peu près, en intégrant l’équation précédente et en négligeant la quantité ${\frac {m^{'2}d^{2}(e'de')}{m^{5}dt^{3}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}},$

$u={\rm {Q}}\sin \left(mt{\sqrt {3{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}+{\rm {F}}\right)+{\frac {m^{'2}e'{\frac {de'}{dt}}}{m^{3}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}$

$-3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}{\frac {{\rm {H}}\sin \Pi }{\left({\frac {d\Pi }{dt}}\right)^{2}-3m^{2}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}-\ldots ,$