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${\rm {Q}}$ et ${\rm {F}}$ étant deux constantes arbitraires. Examinons les conséquences qui résultent de cette intégrale.

Nous observerons d’abord que le terme ${\frac {m^{'2}e'{\frac {de'}{dt}}}{m^{3}{\rm {\frac {B-A}{C}}}}}$ de cette intégrale est insensible, quoique divisé par la petite fraction ${\rm {{\frac {B-A}{C}},}}$ vu l’excessive lenteur avec laquelle l’excentricité $e'$ varie ; on peut donc négliger ce terme. Tous les autres termes de l’expression de $u$ varient d’une manière beaucoup plus rapide ; mais cette expression reste toujours fort petite, si ${\rm {Q}}$ est un petit coefficient. Présentement, l’équation

${\frac {dp}{dt}}={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {dm}{dt}}$

donne

$\int pdt=u+\int mdt\,;$

$\int pdt$ est, par le n^o 8, le mouvement de rotation de la Lune autour de son troisième axe principal ; on voit donc que les deux moyens mouvements de rotation et de révolution de cet astre sont parfaitement égaux entre eux, et que l’action de la Terre sur le sphéroïde lunaire fait participer le premier de ces deux mouvements aux inégalités séculaires du second. Il n’est point nécessaire pour cette égalité parfaite qu’à l’origine les deux mouvements de rotation et de révolution aient été égaux, ce qui serait infiniment peu vraisemblable ; il suffit qu’à cette origine, où nous supposons $t=0$ la vitesse $p$ de rotation de la Lune ait été comprise dans les limites

$m+m{\rm {Q}}{\sqrt {\rm {\frac {3(B-A)}{C}}}}+\ldots \quad$et$\quad m-m{\rm {Q{\sqrt {\frac {3(B-A)}{C}}}-\ldots ,}}$

limites dont l’étendue est arbitraire, à cause de l’arbitraire ${\rm {Q.}}$ Cette étendue est, à la vérité, fort petite, à raison de la petitesse de ${\rm {Q}}$ et de ${\rm {{\sqrt {\frac {3(B-A)}{C}}}\,;}}$ mais elle suffit pour faire disparaître l’invraisemblance qu’il y a à supposer qu’à l’origine les mouvements ont été tels que,