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$r$ et $q$ étant supposés très-petits, nous pouvons négliger le produit ${\rm {\frac {B-A}{C}}}rq,$ ce qui donne ${\frac {dp}{dt}}=0,$ ou $p$ constant. Nous ferons ensuite, comme dans le n^o 17,

$\theta \sin \varphi =s,\qquad \theta \cos \varphi =s',$

ce qui donne par le numéro cité

$r={\frac {ds}{dt}}-ps',\qquad q=-{\frac {ds'}{dt}}-ps.$

En substituant ces valeurs dans les équations différentielles précédentes en $q$ et $r$, elles deviennent

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\rm {\frac {C-B-A}{B}}}p{\frac {ds'}{dt}}+{\rm {\frac {C-A}{B}}}\varepsilon ^{2}s\\&\qquad ={\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}{\rm {{\frac {A-C}{B}}\left[\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi )-{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\sin(\varphi -2\psi )\right],}}\\&{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-{\rm {\frac {C-B-A}{A}}}p{\frac {ds}{dt}}+{\rm {\frac {C-B}{A}}}\varepsilon ^{2}s'\\&\qquad ={\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}{\rm {{\frac {B-C}{A}}\left[\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi )-{\frac {1}{2}}\theta \sin ^{2}\theta '\cos(\varphi -2\psi )\right],}}\end{aligned}}$

$\varepsilon ^{2}$ étant égal à

$p^{2}+{\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r^{'5}}}+{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right).$

Les équations précédentes se simplifient en observant que, dans le cas présent, on a, par le n^o 26 du Livre I, ${\rm {A+B=C,}}$ ce qui réduit ces équations aux suivantes, en négligeant dans leurs seconds membres les termes multipliés par $\theta ,$

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+\varepsilon ^{2}s&=-{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '\sin(\varphi -\psi ),\\\\{\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}-\varepsilon ^{2}s'&=-{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '\cos(\varphi -\psi ).\end{aligned}}$

Si l’on considère l’orbite de ${\rm {L}}$ comme invariable, on aura, par le n^o 4,

$d\varphi -d\psi =pdt,$