Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 2.djvu/420

et par conséquent,

$\varphi -\psi =pt+{\rm {I,}}$

${\rm {I}}$ étant une arbitraire ; les équations différentielles en $s$ et $s'$ donneront ainsi, en les intégrant,

${\begin{aligned}s&={\rm {M}}\sin(\varepsilon t+{\rm {E}})-{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{\varepsilon ^{2}-p^{2}}}\sin(\varphi -\psi ),\\\\s'&={\rm {M'}}\cos(\varepsilon t+{\rm {E'}})-{\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{\varepsilon ^{2}-p^{2}}}\cos(\varphi -\psi ),\end{aligned}}$

${\rm {M,E,M',E'}}$ étant quatre arbitraires. L’inclinaison du plan de l’anneau à celui de l’équateur de Saturne est égale à ${\sqrt {s^{2}+s^{'2}}}\,;$ il faut donc, pour que cette inclinaison reste toujours très-petite, que ${\rm {M}}$ et ${\rm {M'}}$ soient très-petits et que le coefficient ${\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{\varepsilon ^{2}-p^{2}}}$ soit peu considérable ; or cela n’aurait pas lieu si Saturne était parfaitement sphérique, car alors on aurait

$\varepsilon ^{2}-p^{2}={\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right),$

et le coefficient précédent deviendrait ${\frac {\sin \theta '\cos \theta '}{\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '}}\,;$ il serait par conséquent très-sensible.

Si Saturne est aplati en vertu d’un mouvement de rotation, ce coefficient devient

${\frac {{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\sin \theta '\cos \theta '}{{\frac {2\alpha \left(h-{\frac {1}{2}}\varphi '\right)}{r_{\text{ı}}^{'5}}}+{\frac {3{\rm {L}}}{2r^{''3}}}\left(\cos ^{2}\theta '-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta '\right)}}\,;$

supposons que ${\rm {L}}$ soit le Soleil, et que $r_{\text{ı}}$ soit la distance du centre de Saturne à son dernier satellite ; nommons ${\rm {T}}$ la durée d’une révolution sidérale de Saturne, et ${\rm {T'}}$ celle d’une révolution sidérale de son dernier satellite ; la masse de Saturne étant prise pour unité, on a, par le n^o 25 du Livre II,

${\frac {\rm {L}}{r^{''3}}}={\frac {1}{r_{\text{ı}}^{3}}}\left({\frac {T'}{T}}\right)^{2},$