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15. Considérons présentement les sphéroïdes quelconques. La recherche de leur attraction se réduit, par le n^o 9, à former les quantités ${\rm {U}}^{(i)}$ et $v^{(i)}\,;$ on a, par le même numéro,

${\rm {U}}^{(i)}=\iiint \rho {\rm {R}}^{i+2}d\mu 'd\varpi '.{\rm {Q}}^{(i)},$

les intégrales devant être prises depuis ${\rm {R}}=0$ jusqu’à sa valeur à la surface, depuis $\mu '=-1$ jusqu’à $\mu '=1$ et depuis $\varpi '=0$ jusqu’à $\varpi '=2\pi .$ Pour déterminer cette intégrale, il faut connaître ${\rm {Q}}^{(i)}.$ Cette quantité peut se développer dans une fonction finie de cosinus de l’angle $\varpi -\varpi '$ et de ses multiples. Soit ${\text{ϐ}}\cos n(\varpi -\varpi ')$ le terme de ${\rm {Q}}^{(i)}.$ dépendant de $\cos n(\varpi -\varpi '),$ ϐ étant une fonction de $\mu$> et de $\mu '$ ; si l’on substitue au lieu de ${\rm {Q}}^{(i)}.$ sa valeur dans l’équation aux différences partielles en ${\rm {Q}}^{(i)}.$ du n^o 9, on aura, en comparant les termes multipliés par $\cos n(\varpi -\varpi '),$ cette équation aux différences ordinaires

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\frac {\partial {\text{ϐ}}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}-{\frac {n^{2}{\text{ϐ}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1){\text{ϐ}},$

${\rm {Q}}^{(i)}$ étant le coefficient de ${\frac {{\rm {R}}^{i}}{r^{i+1}}}$ dans le développement du radical

${\frac {1}{r^{2}-2{\rm {R}}r\left[\mu \mu '+{\sqrt {1-\mu '^{2}}}{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varpi -\varpi ')\right]+{\rm {R}}^{2}}}.$

Le terme dépendant de $\cos n(\varpi -\varpi ')$ dans le développement de ce radical ne peut résulter que des puissances de $\cos(\varpi -\varpi ')$ égales à $n,n+2,$$n+4,\ldots \,;$ ainsi, $\cos(\varpi -\varpi ')$ ayant pour facteur ${\sqrt {1-\mu ^{2}}},$ ϐ doit avoir pour facteur $\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}.$ Il est facile de voir, par la considération du développement du radical, que ϐ est de cette forme

$\left(1-\mu ^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\rm {A}}\mu ^{i-n}+{\rm {A}}^{(1)}\mu ^{i-n-2}+{\rm {A}}^{(2)}\mu ^{i-n-4}+\ldots \right).$

Si l’on substitue cette valeur dans l’équation différentielle en ϐ, la comparaison des puissances semblables de $\mu$ donnera

${\rm {A}}^{(s)}=-{\frac {(i-n-2s+2)(i-n-2s+1)}{2s(2i-2s+1)}}{\rm {A}}^{(s-1)},$