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aux distances à ce centre ; en sorte que, si l’on connaît la pesanteur à sa surface, on aura la pesanteur dans l’intérieur du sphéroïde.

Si, dans l’expression de $p,$ on substitue pour ${\rm {P,Q,R}}$ leurs valeurs données dans le numéro précédent, on aura

$p={\sqrt {{\rm {A}}'^{2}a^{2}+({\rm {B}}'-g)^{2}\left(b^{2}+c^{2}\right)}},$

d’où l’on tire, en vertu de l’équation (1) du numéro précédent,

$p={\rm {A}}'{\sqrt {a^{2}+{\frac {b^{2}+c^{2}}{\left(1+\lambda ^{2}\right)^{2}}}}}\,;$

mais l’équation de la surface de l’ellipsoïde donne ${\frac {b^{2}+c^{2}}{\left(1+\lambda ^{2}\right)}}=k^{2}-a^{2}\,;$ on aura donc

$p={\rm {A}}'{\frac {\sqrt {k^{2}+\lambda ^{2}a^{2}}}{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.$

$a$ est égal à $k$ au pôle, il est nul à l’équateur ; d’où il suit que la pesanteur au pôle est à la pesanteur à l’équateur comme ${\sqrt {1+\lambda ^{2}}}$ est à l’unité, et par conséquent comme le diamètre de l’équateur est à l’axe du pôle.

Nommons $t$ la perpendiculaire à la surface de l’ellipsoïde, prolongée jusqu’à la rencontre de l’axe de révolution ; on aura

$t={\sqrt {(1+\lambda ^{2})(k^{2}+\lambda ^{2}a^{2})}}\,;$

partant

$p={\frac {{\rm {A}}'t}{1+\lambda ^{2}}}\,;$

ainsi la pesanteur est proportionnelle à $t.$

Soit $\psi$ le complément de l’angle que $t$ fait avec l’axe de révolution ; $\psi$ sera la latitude du point de la surface que l’on considère, et l’on aura, par la nature de l’ellipse,

$t={\frac {\left(1+\lambda ^{2}\right)k}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}}\,;$

on aura donc

$p={\frac {{\rm {A}}'k}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}},$