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et, en substituant pour ${\rm {A'}}$ sa valeur, on aura

(3)

$p={\frac {4\pi \rho k\left(1+\lambda ^{2}\right)(\lambda -arc\operatorname {tang} \lambda )}{\lambda ^{3}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}}}\,;$

cette équation donne la relation entre la pesanteur et la latitude ; mais il faut pour cela déterminer les constantes qu’elle renferme.

Soit ${\rm {T}}$ le nombre de secondes que la masse fluide emploie à tourner sur elle-même ; la force centrifuge $g,$ à la distance $1$ de l’axe de rotation, sera, par le n^o 9 du premier Livre, égale à ${\frac {4\pi ^{2}}{{\rm {T}}^{2}}}\,;$ on aura donc

$q={\frac {g}{{\frac {4}{3}}\pi \rho }}={\frac {12\pi ^{2}}{4\pi \rho {\rm {T}}^{2}}},$

ce qui donne $4\pi \rho ={\frac {12\pi ^{2}}{q{\rm {T}}^{2}}}.$ Le rayon osculateur du méridien elliptique est ${\frac {\left(1+\lambda ^{2}\right)k}{\left(1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi \right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$ en nommant donc $c$ la grandeur du degré à la latitude $\psi ,$ on aura

${\frac {\left(1+\lambda ^{2}\right)\pi k}{\left(1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi \right)^{\frac {3}{2}}}}=200c.$

Cette équation, combinée avec la précédente, donne

${\frac {4\pi \rho \left(1+\lambda ^{2}\right)k}{\sqrt {1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi }}}=200c\left(1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi \right){\frac {12\pi }{q{\rm {T}}^{2}}}\,;$

on aura ainsi

$p=200c\left(1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi \right){\frac {\lambda -arc\operatorname {tang} \lambda }{\lambda ^{3}}}{\frac {12\pi }{q{\rm {T}}^{2}}}.$

Soit $l$ la longueur du pendule simple qui fait une oscillation dans une seconde de temps ; il résulte du n^o 11 du premier Livre que $p=\pi ^{2}l$ ; en comparant ces deux expressions de $p,$ on aura

(4)

$q={\frac {2400c(\lambda -arc\operatorname {tang} \lambda )\left(1+\lambda ^{2}\cos ^{2}\psi \right)}{\pi l{\rm {T}}^{2}\lambda ^{3}}}\,;$

cette équation et l’équation (2) du numéro précédent feront connaître