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jusqu’à $u=\mathrm {R,\ R}$ étant le rayon de la sphère, devient

${\frac {2\pi }{r}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {R} \left[\psi _{\text{ı}}(r+\mathrm {R} )+\psi _{\text{ı}}(r-\mathrm {R} )\right]\\&-\psi _{\text{ıı}}(r+\mathrm {R} )+\psi _{\text{ıı}}(r-\mathrm {R} )\end{aligned}}\right\}$

ou

${\frac {2\pi \mathrm {R} ^{2}}{r}}{\frac {\partial }{\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(r+\mathrm {R} )-\psi _{\text{ıı}}(r-\mathrm {R} )}{\mathrm {R} }}.$

La différentielle de cette fonction, prise par rapport à $r$ et divisée par $dr,$ donne, pour l’attraction d’une sphère de la densité $\rho ,$

(A)

$2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(r+\mathrm {R} )-\psi _{\text{ıı}}(r-\mathrm {R} )}{r\mathrm {R} }}.$

Si l’on suppose la loi d’attraction $\varphi (r)$ égale à $r^{-2-\alpha },$ cette formule devient, en désignant par $\mathrm {M}$ la masse de la sphère,

(B)

${\frac {3\mathrm {M} }{2r^{2}\mathrm {R} ^{2}}}{\frac {(r+\mathrm {R} )^{3-\alpha }-(r-\mathrm {R} )^{3-\alpha }-(3-\alpha )\left[(r+\mathrm {R} )^{1-\alpha }+(r-\mathrm {R} )^{1-\alpha }\right]\mathrm {R} r}{(1+\alpha )(1-\alpha )(3-\alpha )}}.$

Si le point attiré est à la surface, on a $r=\mathrm {R} ,$ et cette fonction devient

${\frac {\mathrm {M} .2^{-\alpha }.\mathrm {R} ^{-2-\alpha }}{(1-\alpha )\left(1-{\frac {1}{3}}\alpha \right)}}.$

À une grande distance $r,$ la même fonction devient $\mathrm {M} .r^{-2-\alpha }\,;$ ce n’est donc que dans les deux cas de $\alpha =0$ et de $\alpha =-3$ que l’attraction à la surface de la sphère est à l’attraction à une grande distance dans le rapport donné par la loi de l’attraction, c’est-à-dire dans le rapport de $\mathrm {R} ^{-2-\alpha }$ à $r^{-2-\alpha }.$

Lorsque Newton voulut reconnaître l’identité de la force qui retient la Lune dans son orbite avec la pesanteur, il supposa que la pesanteur d’un corps qui s’élève successivement de la surface de la Terre diminue suivant le rapport des distances donné par la loi d’attraction de la nature. L’exactitude de cette supposition, que ce grand géomètre a démontrée depuis, lui aurait fait voir cette identité s’il n’avait pas employé une mesure fautive de la Terre.