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Dans le cas de $\alpha =-1,$ le numérateur et le dénominateur de la formule (B) deviennent nuls, et l’on trouve, par les méthodes connues, que cette formule devient

{\frac {3\mathrm {M} }{8r\mathrm {R} ^{2}}}\left(r^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)+{\frac {3\mathrm {M} }{16r^{2}\mathrm {R} ^{2}}}\left(r^{2}-\mathrm {R} ^{2}\right)^{2}\log {\frac {r-\mathrm {R} }{r+\mathrm {R} }}.

Considérons présentement l’attraction d’une couche sphérique sur un point placé au dedans, à la distance $r$ de son centre, $\mathrm {R}$ et $r'$ étant les rayons des surfaces extérieure et intérieure de la couche. L’attraction d’une couche dont $u$ est le rayon, $du$ l’épaisseur et $\rho$ la densité est, par le n^o 12 du Livre II,

2\pi \rho udu{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {\psi (u+r)-\psi (u-r)}{r}}.

Il faut intégrer cette quantité depuis $u=r'$ jusqu’à $u=\mathrm {R} .$ On trouvera, par l’analyse précédente, que cette intégrale est

(C)

\left\{{\begin{aligned}&2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(\mathrm {R} +r)-\psi _{\text{ıı}}(\mathrm {R} -r)}{r\mathrm {R} }}\\-&2\pi \rho r'^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial r'}}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(r'+r)-\psi _{\text{ıı}}(r'-r)}{rr'}}.\end{aligned}}\right.

En comparant cette formule à la formule (A), on voit que l’attraction de la couche sphérique sur le point intérieur est la différence des produits des attractions de la sphère intérieure dont le rayon est $r$ sur deux points placés aux surfaces extérieure et intérieure de la couche, multipliées respectivement par ${\frac {\mathrm {R} ^{2}}{r^{2}}}$ et ${\frac {r'^{2}}{r^{2}}},$ ce qui donne l’attraction de la couche sur un point intérieur lorsque l’on a l’attraction de la sphère sur les points extérieurs.

Si l’on suppose le point attiré à la surface intérieure de la couche, $r'$ devient $r\,;$ en ajoutant à la formule (C) l’attraction de la sphère dont le rayon est $r$ sur un point placé à sa surface, la formule (C) deviendra

(D)

2\pi \rho \mathrm {R} ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial \mathrm {R} }}{\frac {\psi _{\text{ıı}}(\mathrm {R} +r)-\psi _{\text{ıı}}(\mathrm {R} -r)}{r\mathrm {R} }}\,;