Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/210

Ainsi l’on aura

${\begin{aligned}\cos(2nt+2\varpi -2m\ t-2\lambda \ )=&\cos 2l,\\\cos(2nt+2\varpi -2m't-2\lambda ')=&\cos \left[2l-2(m'-m)l''\right].\end{aligned}}$

On a

${\begin{aligned}\cos(2nt+2\varpi -2\gamma )=&\cos(2nt+2\varpi -2mt-2\lambda +2mt+2\lambda -2\gamma )\\=&\cos(2l+2mt-2my).\end{aligned}}$

Substituant pour $mt$ sa valeur $m\mathrm {T} +mt''+my,$ on aura

$\cos(2nt+2\varpi -2\gamma )=\cos(2m\mathrm {T} +2l+2mt'').$

On trouvera pareillement

$\cos(2nt+2\varpi -2\gamma ')=\cos(2m\mathrm {T} +2l+2mt''-2\delta ).$

Cela posé, si l’on fait

${\begin{aligned}a=&{\frac {\mathrm {AL} }{r^{3}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon ,\\\\a'=&{\frac {\mathrm {A'L'} }{r'^{3}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon ',\\\\b=&{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {BL} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2m\mathrm {T} +{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {BL'} }{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\cos(2m\mathrm {T} -2\delta ),\\\\h=&{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {BL} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \sin 2m\mathrm {T} +{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {BL'} }{r'^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon '\sin(2m\mathrm {T} -2\delta ),\end{aligned}}$

l’expression (A) de la hauteur de la mer deviendra, au moment de la pleine mer, en la réduisant en série par rapport aux puissances de $l,\ l-(m'-m)t'',$$\ l+mt'',$ et en négligeant seulement les produits de quatre dimensions de ces quantités et les produits des troisièmes puissances de $l+mt''$ par $\sin ^{2}\varepsilon$ et $\sin ^{2}\varepsilon ',$

(B)$\quad a\left(1-2l^{2}\right)+a'\left\{1-2\left[l-(m'-m)l''\right]^{2}\right\}$

$+b\left[1-2(l+mt'')^{2}\right]-2h(l+mt'').$

Aux instants de la haute et de la basse mer, cette fonction est à son maximum et à son minimum ; sa différentielle prise par rapport au temps $t$ est donc nulle. On ne doit y faire varier que $l$ et $t'',$ le temps $\mathrm {T}$