Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/233

Si l’on multiplie chacune de ces équations respectivement par leurs coefficients de $\zeta ,$ et que l’on fasse nulle la somme de leurs produits, si l’on fait les sommes semblables relativement aux coefficients de $\zeta '$ et de $\zeta '',$ ces trois sommes, égalées à zéro, formeront les équations suivantes :

${\begin{aligned}98\zeta +36\zeta '+14\zeta ''=&f'+4f''+9f''',\\36\zeta +14\zeta '+\ \ 6\zeta ''=&f'+2f''+3f''',\\14\zeta +\ \ 6\zeta '+\ \ 4\zeta ''=&f\ +\ \ f'\ +\ \ f''+f'''\,;\end{aligned}}$

ces équations donnent

${\begin{aligned}\zeta \ \ =&{\frac {f-f'-f''+f'''}{4}},\\\\\zeta '\ =&{\frac {-{\cfrac {21}{2}}(f-f'-f''+f''')+2(f'''-f'')+4(f'''-f')}{10}},\\\\\zeta ''=&{\frac {f+f'+f''+f'''}{4}}-{\frac {3}{2}}\zeta '-{\frac {7}{2}}\zeta .\end{aligned}}$

Maintenant on a

$f=394{,}094,\quad f'=312{,}023,\quad f''=313{,}033,\quad f'''=396{,}159,$

ce qui donne

$\zeta =41{,}29925,\quad \zeta '=-123{,}1812,\qquad \zeta ''=394{,}0515.$

L’expression

$\zeta t^{2}+\zeta 't+\zeta ''$

devient ainsi

$(a)\qquad \qquad \qquad 302{,}2016+41{,}29925(t-1{,}49131)^{2}.$

Nommons $t'$ la distance d’une haute marée du matin à l’instant de la quadrature, et représentons par $\alpha ''+{\text{ϐ}}''(t'-y)^{2}$ cette haute marée. La hauteur de la basse mer qui la suit sera

$-\alpha ''-{\text{ϐ}}''\left(t'-y+{\frac {1}{4}}\right)^{2}\,;$