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LIVRE XIV

Soient

$\int \left(y''^{2}+z''^{2}\right)dm=\mathrm {A} ,\ \ \int \left(x''^{2}+z''^{2}\right)dm=\mathrm {B} ,\ \ \int \left(y''^{2}+x''^{2}\right)dm=\mathrm {C} \,;$

on aura, par les propriétés des axes principaux,

$\int x''y''dm=0,\qquad \int x''z''dm=0,\qquad \int y''z''dm=0,$

toutes ces intégrales étant étendues à la masse entière de la Terre. On aura, par la nature du centre de gravité,

${\begin{alignedat}{3}\int x'\ dm=&0,\qquad &\int y'\ dm=&0,\qquad &\int z'\ dm=&0,\\\int x''dm=&0,&\int y''dm=&0,&\int z''dm=&0,\\\end{alignedat}}$

Considérons l’action d’un astre $\mathrm {L}$ sur la molécule $dm.$ Soient $x,y,z$ les coordonnées de cet astre, rapportées au centre de la Terre et aux axes des $x',$ des $y'$ et des $z'.$ Faisons

$r_{1}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

et

${\frac {\mathrm {L} }{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}=\mathrm {V} \,;$

$dt$ étant l’élément du temps, supposons

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {N} }{dt}}\ =&\int dm\left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d\mathrm {N} '}{dt}}\,=&\int dm\left(x'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}-z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}\right),\\\\{\frac {d\mathrm {N} ''}{dt}}=&\int dm\left(y'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}-z'{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}\right)\,;\end{aligned}}$

$\mathrm {V}$ est fonction de $x,y,z,x',y',z'.$ En y substituant pour $x',y',z'$ leurs valeurs précédentes, $\mathrm {V}$ devient fonction de neuf quantités $x,y,z,x'',y'',z'',\varphi ,\psi$ et $\theta ,$ parmi lesquelles $x'',y'',z''$ sont invariables pour la même molécule. On a donc

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x'}}dx'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y'}}dy'+{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z'}}dz'={\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \varphi }}d\varphi +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \psi }}d\psi +{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial \theta }}d\theta ,$

en ne faisant varier que $\varphi ,\psi$ et $\theta$ dans les valeurs précédentes de $x',$