excentricités. Passant ensuite aux inégalités dépendantes des excentricités, il cherche à obtenir des intégrales sans arcs de cercle, et pour cela il emploie un moyen très-ingénieux et peut-être le plus direct et le plus simple que l’on puisse imaginer. On sait que, si l’on néglige le carré de l’excentricité, la partie elliptique du rayon vecteur d’une planète se réduit au produit de l’excentricité par le cosinus de la distance de la planète à son aphélie. Euler conçoit, dans le rayon vecteur de Jupiter, deux termes semblables rapportés à deux aphélies différents, ce qui revient à supposer une double excentricité à l’orbite. La partie elliptique du mouvement de la planète en longitude est alors formée, comme dans le mouvement elliptique simple, des termes elliptiques du rayon vecteur, dans lesquels on change les cosinus en sinus, en leur donnant pour coefficients le double de ceux des cosinus, pris avec un signe contraire. Euler suppose les parties elliptiques du rayon vecteur et de la longitude de Saturne formées de termes semblables rapportés à ces deux aphélies. En substituant, dans l’équation différentielle du rayon vecteur de Jupiter, les termes relatifs à l’un de ces aphélies, la comparaison des mêmes cosinus lui donne une expression du mouvement de cet aphélie, qui contient le rapport de l’excentricité de l’orbite de Jupiter relative à cet aphélie à l’excentricité correspondante de l’orbite de Saturne. La même substitution dans l’équation difPérentielle du rayon vecteur de Saturne lui donne une seconde expression du mouvement de cet aphélie, pareillement dépendante du rapport des excentricités. De la comparaison de ces deux expressions il obtient, pour déterminer ce rapport, une équation du second degré, dont il choisit une des racines, qu’il substitue dans ces expressions pour avoir le mouvement de l’aphélie. En considérant de la même manière les parties elliptiques relatives à l’autre aphélie, Euler parvient à une autre équation du second degré, qui détermine le rapport des deux excentricités des orbites correspondantes à cet aphélie. Les racines de cette équation sont imaginaires ; mais il les rend réelles et égales par un léger changement dans les valeurs des masses des planètes. On est étonné qu’un
