l’arc de cercle que sa méthode d’intégration introduisait dans l’expression du rayon vecteur de la Lune. Il pensa que le même moyen peut être appliqué au mouvement des planètes. Mais ce moyen ne réussit qu’au tant que l’arc de cercle est introduit par le mouvement de l’apogée, ce qui a lieu pour la Lune. Si l’arc dépend de ce mouvement et d’une variation séculaire de l’excentricité, ce qui a lieu pour les planètes, le moyen proposé par d’Alembert ne réussit plus, et la question devient beaucoup plus difficile. On vient de voir par quel artifice Euler l’a résolue. D’Alembert, membre des Commissions nommées par l’Académie pour juger les pièces d’Euler, ne parait pas avoir remarqué cet artifice ; mais ce qui doit surprendre, c’est qu’Euler lui-même n’en ait pas senti l’importance et qu’il n’ait pas cherché à l’étendre au système entier des planètes.
En 1756, l’Académie des Sciences couronna une troisième pièce d’Euler sur les inégalités du mouvement des planètes, produites par leurs actions réciproques. La méthode que ce grand géomètre y expose est très-belle et fort importante dans la Mécanique céleste. Elle consiste à regarder les éléments du mouvement elliptique comme variables en vertu des forces perturbatrices. Ces éléments sont : 1o le grand axe de l’orbite qui donne, par la loi de Kepler, le rapport de la différentielle de la longitude moyenne à l’élément du temps ; 2o l’époque de cette longitude ; 3o l’excentricité de l’orbite ; 4o la longitude de l’aphélie ; 5o l’inclinaison de l’orbite à un plan fixe ; 6o la longitude de son nœud. Euler se propose de déterminer les variations que les forces perturbatrices introduisent dans ces éléments. Il l’avait déjà fait, comme on l’a vu ci-dessus, par rapport à l’inclinaison et à la longitude du nœud de l’orbite. Pour cela, il considère qu’à la fin d’un Instant infiniment petit l’expression de la tangente de la latitude peut être censée appartenir également au plan de l’orbite de cet instant et au plan de l’orbite de l’instant suivant. En différenciant l’expression de la latitude dans l’hypothèse des deux éléments constants, on a la différentielle relative à l’orbite invariable pendant un instant. En différenciant la même expression dans l’hypothèse où la longitude et les
