5. J’ai donné, dans les no 28 et suivants du Livre II, une nouvelle méthode pour déterminer les orbites des comètes. Elle consiste à déterminer par les observations, en partant d’une époque fixe, la longitude et la latitude géocentriques de la comète, et leurs premières et secondes différences divisées par les puissances correspondantes de l’élément du temps supposé constant. On conclut ensuite rigoureusement, des équations différentielles du mouvement de la comète, sa distance périhélie et l’instant de son passage par le périhélie. Pour obtenir avec plus de précision les données dont je viens de parler, j’avais proposé d’employer plus de trois observations, en ayant soin d’augmenter l’intervalle des observations extrêmes, en raison du nombre des observations employées. Mais, indépendamment de la longueur du calcul, les erreurs des observations nuisent à l’exactitude que l’on peut attendre de la multiplicité des observations, et il me paraît préférable de n’en employer que trois, en fixant l’époque à l’observation intermédiaire, et en prenant les observations extrêmes assez peu distantes entre elles pour que, dans l’intervalle qui les sépare, les données précédentes puissent être supposées à fort peu près les mêmes.
Soient les longitudes géocentriques de la comète dans la première, dans la deuxième et dans la troisième observation. Soient et les latitudes géocentriques correspondantes. Désignons par l’intervalle de la première à la deuxième observation, et par l’intervalle de la deuxième observation à la troisième. Prenons pour époque la deuxième observation et désignons par les quatre différentielles Nous aurous, par les formules connues, les quatre équations
