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MÉCANIQUE CÉLESTE.

ce qui donne

$\mathrm {N} _{\text{ı}}=-{\frac {3}{4}}m^{2}\upsilon _{\text{ı}}\left[1-\cos ^{(}2m\upsilon -2\mathrm {N} )\right],$

$\mathrm {N} _{\text{ı}}$ étant ici le mouvement horaire médiocre. Cette expression de $\mathrm {N} _{\text{ı}}$, revient à négliger dans la précédente les termes dont la période est d’environ un mois. Newton néglige, en effet, les inégalités de ce genre, parce qu’elles disparaissent de l’expression de la latitude, en se combinant avec les inégalités semblables de l’inclinaison de l’orbite lunaire. En changeant $\mathrm {N} _{\text{ı}}$ et $\upsilon _{\text{ı}}$ en $d\mathrm {N}$ et $d\upsilon ,$ on a

$d\mathrm {N} =-{\frac {3}{2}}m^{2}d\upsilon \sin ^{2}(m\upsilon -\mathrm {N} ).$

Supposons

$m\upsilon -\mathrm {N} =\varphi ,$

on aura

$md\upsilon =d\varphi +d\mathrm {N} \,;$

on aura donc

$dN=-{\frac {{\cfrac {3}{2}}md\varphi \sin ^{2}\varphi }{1+{\cfrac {3}{2}}m\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {3}{2}}md\varphi \sin ^{2}\varphi +{\frac {{\cfrac {3}{2}}md\varphi \sin ^{4}\varphi }{{\cfrac {2}{3m}}+\sin ^{2}\varphi }}.$

En intégrant cette valeur de $d\mathrm {N}$ depuis $\varphi$ nul jusqu’à $\varphi$ égal à la circonférence $2\pi ,$ on aura le mouvement moyen du nœud dans l’intervalle de deux retours consécutifs du Soleil au même nœud. L’intégrale de $-{\frac {3}{2}}md\varphi \sin ^{2}\varphi$ est $-{\frac {3}{4}}m.2\pi .$ Newton a déterminé l’intégrale de

${\frac {{\cfrac {3}{2}}md\varphi \sin ^{4}\varphi }{{\cfrac {2}{3m}}+\sin ^{2}\varphi }}$

par la méthode des suites, qui donne pour cette intégrale

${\frac {27}{32}}m^{2}\left(1-{\frac {5m}{4}}\right).2\pi .$

On a ainsi, pour le mouvement moyen du nœud dans l’intervalle de