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MÉCANIQUE CÉLESTE.

En prenant ensuite pour unité la moyenne distance de la Lune à la Terre, on pourra, par le n^o 6 du Livre VII, supposer $h=1,$ et alors on a, à fort peu près,

$u={\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(c\upsilon -\varpi )\,;$

on a ensuite

$r={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}}.$

Le terme

${\frac {12kdt\sin 3f\upsilon }{(1+s^{2})^{\frac {3}{2}}r^{4}}}$

donne celui-ci, en substituant, pour $dt,\ {\frac {d\upsilon }{u^{2}}},$

$9ke\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi ).$

On trouvera facilement

$-2\mathrm {Q} 'dt.r\delta r={\frac {m^{2}}{2}}\left[1+3\cos(2\upsilon -2m\upsilon )\right]\left({\frac {s\delta s}{u^{2}}}-{\frac {\delta u}{u^{3}}}\right){\frac {d\upsilon }{u^{2}}}.$

En substituant pour $\delta u$ et $\delta s$ leurs valeurs précédentes, et ne conservant que les termes qui ont des diviseurs de l’ordre $3f-2g-c,$ on aura

${\frac {m^{2}}{2}}\left({\frac {s\delta s}{u^{2}}}-{\frac {\delta u}{u^{3}}}\right){\frac {d\upsilon }{u^{2}}}=3k{\frac {m^{2}}{2}}e\gamma ^{2}\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi )$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{3f-2g-c-{\cfrac {9}{8}}m^{2}\gamma ^{2}}}\\-&{\frac {\cfrac {3}{2}}{3f-2g-c}}\\+&{\frac {\cfrac {5}{8}}{3f-2g-c-{\cfrac {5}{4}}e^{2}\left(1-e^{2}\right)}}\end{aligned}}\right\}.$

Les termes de l’ordre $m^{2}$ doublent à fort peu près, comme l’on sait, la valeur de $c$ relative aux quantités de l’ordre $m^{2},$ ce qui rend très-petit le diviseur $3f-2g-c\,;$ il est donc utile, dans la présente recherche, d’avoir égard aux termes de l’ordre $m^{2}.$ Pour cela, il faut