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LIVRE XVI.

considérer la fonction

${\frac {3m^{2}}{2}}\cos(2\upsilon -2mw)\left({\frac {s\delta s}{u^{2}}}-{\frac {\delta u}{u^{3}}}\right){\frac {d\upsilon }{u^{2}}},$

qui fait partie de l’expression de $-2\mathrm {Q} 'dt.r\delta r.$

Si l’on suppose

${\begin{aligned}u=1+e\cos(c\upsilon -\varpi )+&\mathrm {A} _{1}^{(1)}e\cos(2\upsilon -2m\upsilon -c\upsilon +\varpi )\\+&\mathrm {B} _{1}^{(0)}\gamma \cos(2\upsilon -2m\upsilon -c\upsilon +\theta ),\end{aligned}}$

$\mathrm {A} _{1}^{(1)}$ et $\mathrm {B} _{1}^{(0)}$ ayant les significations que je leur ai données dans le Livre VII, la fonction précédente donnera, dans l’expression de $d\delta \upsilon$ le terme

${\frac {3}{16}}m^{2}e\gamma ^{2}d\upsilon .k\sin(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi )$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {{\cfrac {15}{2}}\mathrm {A} _{1}^{(1)}}{3f-2g-c-{\cfrac {5}{4}}e^{2}\left(1-e^{2}\right)}}\\-&{\frac {3\mathrm {B} _{1}^{(0)}}{3f-2g-c-{\cfrac {9}{8}}m^{2}\gamma ^{2}}}\end{aligned}}\right\}.$

Considérons le terme $-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}$ de l’expression de $d\delta \upsilon \,:$ on a

$dr=ed\upsilon \sin(c\upsilon -\varpi ),\qquad \delta r=-{\sqrt {1+s^{2}}}{\frac {\delta u}{u^{2}}}+{\frac {s\delta s}{u{\sqrt {1+s^{2}}}}}\,;$

le terme $-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}$ donne ainsi le suivant :

${\frac {3ke\gamma ^{2}}{8}}{\frac {d\cos(3f\upsilon -2g\upsilon -c\upsilon +2\theta +\varpi )}{3f-2g-c-{\cfrac {5}{4}}e^{2}\left(1-e^{2}\right)}}.$

L’expression de $d\delta \upsilon$ se rapporte au plan de l’orbite lunaire : pour la rapporter au plan même de l’écliptique, il faut, par le Chapitre II du Livre VII, lui ajouter ce que produit la fonction

${\frac {1}{2}}\left(s^{2}-{\frac {d^{2}s}{d\upsilon ^{2}}}\right)d\upsilon ,$