Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/451

437

LIVRE XVI.

n^o 14 du Livre III, le rayon d’une couche du sphéroïde terrestre étant exprimé par $a(1+\alpha y),$ et $y$ étant développé dans une suite de la forme $y^{(0)}+y^{(1)}+y^{(2)}+y^{(3)}+\ldots ,\ y^{(i)}$ étant assujetti à l’équation

$0={\frac {\partial .\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial y^{(i)}}{\partial \mu }}}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}y^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)y^{(i)},$

on aura, par la formule $(a)$ de ce même numéro

$\mathrm {H^{(3)}D^{3}U^{(3)}} ={\frac {4\pi }{7}}\alpha \int \rho d.a^{6}y^{(3)}.$

$\rho$ étant la densité de la couche, la différentielle et l’intégrale étant relatives à la variable $a$, et cette intégrale étant prise depuis $a=0$ jusqu’à $a=\mathrm {D} .$ En prenant pour unité de distance, comme nous le faisons, la distance moyenne de la Lune à la Terre, et pour unité de vitesse la vitesse moyenne de la Lune, la masse de la Terre devient à fort peu près l’unité de masse ; or cette masse est, à fort peu près, ${\frac {4\pi }{3}}\int \rho d.a^{3}\,;$ on aura donc

$\mathrm {H^{(3)}D^{3}U^{(3)}} ={\frac {{\cfrac {3}{7}}\alpha \int \rho d.a^{6}y^{(3)}}{\int \rho d.a^{3}}}.$

On peut négliger ici les termes de $y^{(3)}$ qui dépendent de $\varpi ,$ et supposer ainsi

$y^{(3)}=p\left(\mu ^{3}-{\frac {3\mu }{5}}\right),$

$p$ étant une fonction de $a$ ; alors on a

$\mathrm {H^{(3)}D^{3}} ={\frac {{\cfrac {3}{7}}\alpha \int \rho d.a^{6}p}{\int \rho d.a^{3}}},$

ce qui donne

$k={\frac {3}{28}}\alpha {\frac {\int \rho d.a^{6}p}{\int \rho d.a^{3}}}\sin ^{3}\lambda .$