Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/453

439

LIVRE XVI.

eu égard. Le terme de l’expression de $\mathrm {V}$ donnée ci-dessus, qui dépend de la partie elliptique du rayon terrestre, est

$\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}\mathrm {U} ^{(2)}.$

On peut supposer ici, dans ce terme,

$\mathrm {U} ^{(2)}=\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\,;$

alors, en substituant pour $\mu$ sa valeur

${\frac {\sin \lambda \sin f\upsilon +s\cos \lambda }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$

on aura dans $\mathrm {V}$ le terme

$2\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}{\frac {\sin \lambda \cos \lambda .s\sin f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

Ce même terme, pris avec un signe contraire, fait partie de l’expression de $\mathrm {R}$, en sorte que l’on pourra supposer ici

$\mathrm {R} =r^{2}\mathrm {Q} '-2\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}{\frac {\sin \lambda \cos \lambda .s\sin f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$

ce qui donne

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4\delta .r^{2}\mathrm {Q} '+12\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}{\frac {\sin \lambda \cos \lambda .s\sin f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.$

En n’ayant égard qu’à l’inégalité de $\delta \upsilon$ dont la période est celle du retour du nœud lunaire au même équinoxe, on pourra supposer $\delta \mathrm {R}$ nul, et alors on a

$\delta .r^{2}\mathrm {Q} '=2\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}{\frac {\sin \lambda \cos \lambda .s\sin f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\,;$

on a donc

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=20\mathrm {H} ^{(2)}{\frac {\mathrm {D} ^{2}}{r^{3}}}{\frac {\sin \lambda \cos \lambda .s\sin f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},$